Encontre a área da região delimitada pela hipérbole y 2 - x 2 = 1 e pela reta y = 3 .

  1. 6 2 + ln ⁡ 3 + 2 2
  2. 6 2 - 1
  3. 8 2
  4. 3
  5. 7 2 - 3

Passo 1

Oi, tudo bem? O problema pediu para calcularmos a área delimitada pelas curvas

y 2 - x 2 = 1 y = 3

Vamos fazer um esboço dessa região:

Os pontos onde as curvas se encontram são

3 2 - x 2 = 1

x = ± 2 2

Então a integral que representa essa área é:

∫ - 2 2 2 2 3 - 1 + x 2 d x = ∫ - 2 2 2 2 3   d x   ⏝ 1 º - ∫ - 2 2 2 2 1 + x 2 d x   ⏝ 2 º

Vamos resolver as integrais definidas em separado

Beleza?

Passo 2

A começando pela primeira:

∫ - 2 2 2 2 3   d x   = 3 2 2 - 3 - 2 2 = 3.4 2 = 12 2

Tranquilo até aqui?

vamos guardar esse resultado! Agora vamos calcular a segunda integral e depois juntar os resultados!

Passo 3

Vamos calcular a segunda:

∫ - 2 2 2 2 1 + x 2 d x

Aqui vamos usar a substituição trigonométrica:

x = t g θ

d x = sec 2 ⁡ θ d θ

E vamos usar a identidade trigonométrica que 1 + t g 2 θ = sec 2 ⁡ θ .   Substituindo temos o seguinte:

∫ 1 + t g 2 θ . sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ sec 3 ⁡ θ d θ

Parece que ficou pior, mas é assim mesmo! Vamos fazer essa integral por partes! Separando essa secante ao cubo em uma multiplicação de s e c θ (que será nosso ‘u’) e sec 2 ⁡ θ (será nosso ‘dv’):

u = sec ⁡ θ     ;     d u = sec ⁡ θ t g θ d θ

d v = sec 2 ⁡ θ d θ ;       v = t g θ

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = s e c θ t g θ - ∫ sec ⁡ θ t g 2 θ   d θ

Tudo bem até aqui?

t g 2 θ no integrando:

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = s e c θ t g θ - ∫ sec ⁡ θ { sec 2 ⁡ θ - 1 }   d θ

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = s e c θ t g θ - ∫ sec 3 ⁡ θ d θ + ∫ sec ⁡ θ d θ

Vamos agora juntar as integrantes ao cubo:

2 ∫ sec 3 ⁡ θ d θ = s e c θ t g θ + ln ⁡ sec ⁡ θ + t g θ

E por fim temos o resultado:

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = 1 2 s e c θ t g θ + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ θ + t g θ

Beleza?

Nos resta agora voltar ao x !

Fizemos a substituição de x = t g θ , então

sec 2 ⁡ θ = 1 + t g 2 θ = 1 + x 2

e assim

s e c θ = 1 + x 2

Aí a integral que tínhamos:

∫ - 2 2 2 2 1 + x 2 d x = ∫ sec 3 ⁡ θ d θ = 1 2 s e c θ t g θ + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ θ + t g θ

= 1 2 1 + x 2 . x + 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 + x - 2 2 2 2

Agora precisamos aplicar esses limites!

Passo 4

A segunda integral é

∫ - 2 2 2 2 1 + x 2 d x = 1 2 1 + x 2 . x + 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 + x - 2 2 2 2

E agora vamos aplicar os limites e simplificar o que for possível:

= 1 2 2 2 1 + 2 2 2 + 1 2 ln ⁡ 1 + 2 2 2 + 2 2   - 1 2 - 2 2 1 + - 2 2 2 + 1 2 ln ⁡ 1 + - 2 2 2 + - 2 2  

Fazendo os cálculos aos pouquinhos! Calculando dentro das raízes e simplificando:

= 2 9 + 1 2 ln ⁡ 9 + 2 2   - - 2 9 + 1 2 ln ⁡ 9 + - 2 2  

= 3 2 + 1 2 ln ⁡ 3 + 2 2   + 3 2 - 1 2 ln ⁡ 3 + - 2 2  

E agora podemos juntar os termos semelhantes:

= 6 2 + 1 2 ln ⁡ 3 + 2 2 3 - 2 2

Beleza?

mas podemos arrumar o argumento do logaritmo:

3 + 2 2 3 - 2 2 = 3 + 2 2 3 - 2 2 × 3 + 2 2 3 + 2 2 = 3 + 2 2 2 3 2 - 2 2 2 = 3 + 2 2 2 9 - 8 = 3 + 2 2 2

E aí substituindo essa expressão no logaritmo, podemos simplificar a potência:

1 2 ln ⁡ 3 + 2 2 3 - 2 2 = 1 2 ln ⁡ 3 + 2 2 2   = ln ⁡ 3 + 2 2

Então nossa segunda integral tem esse valor aqui:

∫ - 2 2 2 2 1 + x 2 d x = 6 2 + ln ⁡ 3 + 2 2

Tranquilo até aqui?

agora vamos juntar esse resultado com o resultado do passo 2, e colocar tudo na integral do passo 1!

Passo 5

Recapitulando: fizemos o esboço da região R e encontramos essa integral para representar a área:

R = ∫ - 2 2 2 2 3 - 1 + x 2 d x = ∫ - 2 2 2 2 3   d x   ⏝ 1 º - ∫ - 2 2 2 2   ⏝ 1 + x 2 d x 2 º

A primeira foi calculada no passo 2 e encontramos:

∫ - 2 2 2 2 3   d x   = 12 2

A segunda foi calculada nos passos 3 e 4 (sim, foi tenso kkk) e encontramos:

∫ - 2 2 2 2 1 + x 2 d x = 6 2 + ln ⁡ 3 + 2 2

Agora é só juntar tudo:

R = 12 2 - 6 2 + ln ⁡ 3 + 2 2

R = 6 2 - ln ⁡ 3 + 2 2

Ufa! Terminamos! Então a região é R = 6 2 - ln ⁡ 3 + 2 2

Espero ter ajudado! Até próxima!

Resposta

R = 6 2 - ln ⁡ 3 + 2 2

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Calcule a integral indefinida:int (x^2)/(sqrt(2 - x^2)) d x
Calcule a integral indefinida:int (5 x + 4)/(x^3 sqrt(x^2 + 1)) d x
Calcule a integralint (1)/(x^2 sqrt(4 x^2 - 1)) d x