Lembrando que ∫ sec ⁡ x   d x = ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C , com C ∈ R , podemos afirmar que

∫ - 3 - 2 d x x 2 + 6 x + 10

é igual a:

a) ln ⁡ 3 - 2

b) ln ⁡ 3 + 2

c) ln ⁡ 2 + 3

d) ln ⁡ 2 - 1

e) ln ⁡ 2 + 1

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Precisamos calcular a integral

I = ∫ - 3 - 2 d x x 2 + 6 x + 10

Essa é a típica integral em que fazemos substituição trigonométrica. Mas antes disso, temos que brincar um pouco dentro da raiz:

x 2 + 6 x + 10 = x 2 + 6 x + 9 + 1 = x + 3 2 + 1

É só fazer a distributiva que você vai ver que as coisas fecham certinho. Lembre-se

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2

Com isso, temos que

I = ∫ - 3 - 2 d x 1 + x + 3 2

Agora fazemos uma mudança de variável

t = x + 3 → d t = d x

Fazendo isso, a integral fica

I = ∫ 0 1 d t 1 + t 2

Observe que os limites de integração foram trocados.

Passo 2

Agora fazemos a tradicional substituição trigonométrica:

t = tan ⁡ θ → d t = sec 2 ⁡ θ   d θ

Além disso,

1 + t 2 = 1 + tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ = sec ⁡ θ

Note que quando t = 0 , temos tan ⁡ θ = 0 → θ = 0 . Já para t = 1 , segue que tan ⁡ θ = 1 → θ = π / 4 . Logo, substituindo na integral do passo anterior e fazendo as mudanças nos limites de integração:

I = ∫ 0 π / 4 sec 2 ⁡ θ   d θ sec ⁡ θ = ∫ 0 π / 4 sec ⁡ θ   d θ

Passo 3

Para fazer essa integral, usamos o dado do enunciado:

∫ sec ⁡ x   d x = ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x

Portanto,

I = ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x 0 π / 4

Substituindo os limites:

I = ln ⁡ sec ⁡ π 4 + tan ⁡ π 4 - ln ⁡ sec ⁡ 0 + tan ⁡ 0

Como sec ⁡ π 4 = 2 , tan ⁡ π 4 = 1 , sec ⁡ 0 = 1 e tan ⁡ 0 = 0 , temos que

I = ln ⁡ 2 + 1 - ln ⁡ 1

Por fim, como ln ⁡ 1 = 0 , obtemos

I = ln ⁡ 2 + 1

Ufa, terminamos! Resposta é a alternativa E 😉.

Resposta

Alternativa E.

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 .
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
Calcule a integral indefinida:int (x^2)/(sqrt(2 - x^2)) d x
Calcule a integral indefinida:int (5 x + 4)/(x^3 sqrt(x^2 + 1)) d x
Calcule a integralint (1)/(x^2 sqrt(4 x^2 - 1)) d x