Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

Q01d) Calcule

∫ 1 x 3 x 2 - 4 d x

Passo 1

Essa integral é bem feinha né? Tem raiz, polinômio dentro e fora dela e como se não bastasse, ta tudo no denominador. Mas olha só, eu tenho algo do tipo x 2 ± a dentro da raiz. Quando é assim, da pra gente brincar de Pitágoras:

Falta só eu dar nome aos bois. Ou melhor, aos catetos e a hipotenusa. Como tio Pitágoras falou pra gente que:

h i p o t e n u s a 2 = c a t e t o 1 2 + c a t e t o 2 2

Pra uma raiz e um sinal de menos dentro dela aparecer, a única forma é manipulando:

h i p o t e n u s a 2 - c a t e t o 1 2 = c a t e t o 2 2

c a t e t o 2 = h i p o t e n u s a 2 - c a t e t o 1 2

Agora ficou um pouco com a cara do que temos na raiz né. Vamos ter:

h i p o t e n u s a 2 = x 2

c a t e t o 1 2 = 4

E logo:

h i p o t e n u s a = x

c a t e t o 1 = 2

Mas também:

c a t e t o 2 = x 2 - 4

Agora é só a gente por tudo dentro do triângulo retângulo:

E acredite ou não, esse triângulo simpático vai ajudar bastante a gente! Uma coisa importante sobre essa forma de resolver é que as vezes a escolha das posições dos catetos atrapalha a gente. Não tem jeito, é tentativa e erro. Essa posição ai já vai nos dar o pulo do gato.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bem, já que temos o triângulo auxiliar, a partir dele e o ângulo θ , conseguimos tirar relações trigonométrica. Por exemplo:

tan ⁡ θ = x 2 - 4 2

cos ⁡ θ = 2 x

E logo:

x 2 - 4 = 2 tan ⁡ θ

x = 2 cos ⁡ θ = 2 sec ⁡ θ

Agora é só substituir na integral. Mas antes pra achar a expressão de d x em função de d θ , vamos derivar a segunda linha:

x = 2 sec ⁡ θ

d x d θ = 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ

d x = 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Juntando tudo, vamos ter:

∫ 1 x 3 x 2 - 4 d x = ∫ 1 2 sec ⁡ θ 3 2 tan ⁡ θ 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

= ∫ 2 1 sec ⁡ θ tan ⁡ θ 2 4 sec 3 ⁡ θ tan ⁡ θ d θ = 1 2 3 ∫ 1 sec 2 ⁡ θ d θ = 1 8 ∫ 1 1 cos 2 ⁡ θ d θ = 1 8 ∫ cos 2 ⁡ θ d θ

Opa, restou só uma integral! Uma até bem direta. Sabe porque? Porque tem uma relação trigonométrica i.m.p.o.r.t.a.n.t.í.s.s.i.m.a que diz que:

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

Substituindo então, temos:

1 8 ∫ cos 2 ⁡ θ d θ = 1 8 ∫ 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ = 1 16 ∫ 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ = 1 16 θ + sin ⁡ 2 θ 2 + C

Passo 3

Fechamos a integração, o resultado deu:

∫ 1 x 3 x 2 - 4 d x = 1 16 θ + sin ⁡ 2 θ 2 + C

Vai faltar só a gente voltar pra variável original. E é pra isso que temos nosso triângulo auxiliar:

Veja bem, se tínhamos feito a substituição:

x = 2 sec ⁡ θ

Vamos ter:

sec ⁡ θ = x 2

θ = arcsec ⁡ x 2

Do triângulo retângulo poderíamos ainda tirar outras expressões pra θ dependendo da relação trigonométrica que a gente tire e depois transforme em arco dessa função trigonométrica. Como a substituição foi com secante, vou responder assim mesmo. Agora, note que:

sin ⁡ 2 θ = 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ

E o seno e o cosseno dá pra tirar do triângulo em! vamos ter:

sin ⁡ 2 θ = 2 ∙ x 2 - 4 x ∙ 2 x

Substituindo isso vamos ter:

∫ 1 x 3 x 2 - 4 d x = 1 16 arcsec ⁡ x 2 + 2 ∙ x 2 - 4 x ∙ 2 x 2 + C

∫ 1 x 3 x 2 - 4 d x = 1 16 arcsec ⁡ x 2 + 2 x 2 - 4 x 2 + C

∫ 1 x 3 x 2 - 4 d x = arcsec ⁡ x 2 16 + x 2 - 4 8 x 2 + C

Resposta

∫ 1 x 3 x 2 - 4 d x = arcsec ⁡ x 2 16 + x 2 - 4 8 x 2 + C

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