Resolva as integrais indefinidas abaixo:

c ) ∫ 1 9 - x 2 d x

Passo 1

Fala galera, tudo belezinha? Essa questão tem muitas etapas, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

Letra (c):

∫ 1 9 - x 2 d x

Quando tem raiz no denominador e um quadrado dentro dela é substituição trigonométrica na certa!

Lembra que a relação fundamental da trigonometria é:

s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1

Digamos que x = 3 s e n ( t ) , para - π 2 < t < π 2 , vamos ter o seguinte se substituirmos na expressão do interior da raiz:

9 - x 2 = 9 - 3 s e n t 2 = 9 - 9 s e n 2 t = 9 [ 1 - s e n 2 ( t ) ]

Passo 2

Substituindo no nosso integrando temos:

∫ 1 9 - x 2 d x

∫ 1 9 - 9 s e n 2 t d x = ∫ 1 9 [ 1 - s e n 2 ( t ) ] d x = ∫ 1 9 cos 2 ⁡ ( t ) d x

Passo 3

E aquele d x ? Bom, a gente vai derivar o x que a gente tem:

x = 3 s e n t             d x = 3 c o s ⁡ ( t ) d t

Daí a nossa integral fica assim:

∫ 1 9 cos 2 ⁡ t d x = ∫ 3 cos ⁡ t d t 9 cos 2 ⁡ t = ∫ 3 cos ⁡ t d t 3 cos ⁡ t

Como no intervalo que estamos o cosseno é sempre positivo, então o c o s ⁡ ( t ) do numerador pode cancelar o | c o s ⁡ ( t ) | do denominador, e aí nossa integral fica assim:

∫ d t

Passo 4

Agora é só integrar!

∫ d t = t + C

E agora no fim voltar para x !

x = 3 s e n t

s e n t = x 3

t = s e n - 1 x 3

E o resultado da integral é:

∫ 1 9 - x 2 d x = s e n - 1 x 3 + C

Prontinho! Não esquece de colocar sempre o + C no final, pois temos uma integral indefinida!

Ufa! Terminamos! Espero ter te ajudado!

Resposta

s e n - 1 x 3 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 .
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
Calcule a integral indefinida:int (x^2)/(sqrt(2 - x^2)) d x
Calcule a integral indefinida:int (5 x + 4)/(x^3 sqrt(x^2 + 1)) d x
Calcule a integralint (1)/(x^2 sqrt(4 x^2 - 1)) d x