Seja f : R → R uma função que admite derivadas de todas as ordens tal que 0 ≤ f x ≤ 6 para todo x ∈ 0 ,   1 . Sabendo-se que f 0 = 0 e que f 1 2 = 3 ,   o valor de

∫ 0 1 2 f ' x 36 - f x 2 d x

Passo 1

Bom, precisamos resolver essa integral aí em cima. Conorda que quando temos algo dentro de uma raíz não é muito gatinho de trabalhar? Bora tentar fazer uma substituição simples aqui.

u = f x

d u = f ' x d x → d x = d u f ' x

∫ f ' x 36 - u 2 d u f ' x  

∫ 36 - u 2   d u

Passo 2

Bom, como temos a forma a 2 + x 2 pensamos na substituição trigonométrica.

Façamos u = 6 s e n s

d u = 6 cos ⁡ s d s

Fiaremos então com

∫ 36 - 36 s e n 2 ( s ) 6 cos ⁡ x d s

6 ∫ 6 1 - s e n 2 cos ⁡ x   d s

36 ∫ cos 2 ⁡ s d s

Temos ainda a relação trigonométrica que cos 2 ⁡ s = 1 2 cos ⁡ 2 s + 1 2

36 ∫ 1 2 cos ⁡ 2 s + 1 2   d s

18 ∫ cos ⁡ 2 s d s + 18 ∫ d s

Chamando 2 s = p → d p = 2   d s

9 s e n p + 18 s

9   s e n   2 s + 18 s

Lembrando que s e n 2 s = 2 s e n s c o s ⁡ ( s ) e trazendo de volta o valor de s

18 s + 18 s e n s cos ⁡ s

Temos de uma substituição que fizemos la em cima que cos 2 ⁡ s = 1 - s e n 2 ( s )

18 s + 12 s e n s 1 - s e n 2 s

1 2 36 - u 2 u + 18 a r c s e n u 6

Passo 3

Temos ainda que u = f ( x ) e também queremos essa integral num intervalo fehado, que é entre zero e 1 2 .

1 2 36 - f 1 2 2 f 1 2 + 18 a r c s e n f 1 2 6 - 1 2 36 - f ( 0 ) 2 f ( 0 ) + 18 a r c s e n f ( 0 ) 6

Lembrando que f 0 = 0 e que f 1 2 = 3

3 2 36 - 9 + 18 a r c s e n 1 2 - 0 ) + 18 a r c s e n 0

3 2 3 3 + 18 π 6

9 2 3 + 6 π 2

9 3 + 6 π 2

Resposta

9 3 + 6 π 2

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Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 .
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
Calcule a integral indefinida:int (x^2)/(sqrt(2 - x^2)) d x
Calcule a integral indefinida:int (5 x + 4)/(x^3 sqrt(x^2 + 1)) d x
Calcule a integralint (1)/(x^2 sqrt(4 x^2 - 1)) d x