Seja f : R → R uma função derivável, com derivada continua tal que - 1 < f x < 1 para todo x ϵ   R . Sabendo que f a = 1 / 3 e f b = 1 / 2 , o valor da integral:

∫ a b f ' ( x ) 1 - f x 2 3 / 2 d x

É:

Passo 1

Fala aí galerinha? Tudo bem com vocês? Bora pra cima!

Nessa questão precisamos calcular uma integral que envolve a função f ( x ) , o problema é que não é falado que função é essa. Sabemos apenas que ela é limitada entre - 1 e 1 , e também que:

f a = 1 3 f b = 1 2

Puts, o que podemos fazer?

De começo essa integral parece bem estranha, mas vou te mostrar que não é tão assim. Pra resolvermos essa integral, primeiro vamos observar que f x é limitada entre - 1 e 1 . Qual outra classe de funções também é limitada nesses valores?

Exatamente, a função s e n o e c o s s e n o também são assim.

Por isso, uma ideia interessante pra resolver essa integral, é começar fazendo uma substituição de variáveis. Vamos substituir esse f ( x ) por uma função em que a gente consiga trabalhar tranquilamente aqui. Vou escolher o s e n   u como substituição a f ( x ) . Logo:

f x = s e n   u

f ' x d x = cos ⁡ u   d u

Portanto, a integral fica:

∫ a b f ' ( x ) 1 - f x 2 3 / 2 d t →   ∫ a b cos ⁡ u 1 - s e n 2 u 3 / 2 d u

Mas gente, quem é 1 - s e n 2 u ? Se a gente lembrar das propriedades de funções trigonométricas, temos que:

cos 2 ⁡ x + s e n 2   x = 1

Logo,

cos 2 ⁡ x = 1 - s e n 2 x

Portanto nossa integral fica:

∫ cos ⁡ u ( cos 3 ⁡ u ) d u

Passo 2

Belezinha, agora chega de surpresas e vamos continuar resolvendo:

∫ cos ⁡ u ( cos 3 ⁡ u ) d u

Para essa divisão dentro da integral:

cos ⁡ u ( cos 3 ⁡ u ) = 1 cos 2 ⁡ u

1 cos 2 ⁡ u = sec 2 ⁡ u

Portanto:

∫ cos ⁡ u ( cos 3 ⁡ u ) d u =   ∫ sec 2 ⁡ u d u

E essa integral é bem conhecida, inclusive já tabelada em todos os livros de cálculo. Ela é igual a:

∫ sec 2 ⁡ u d u = tan ⁡ u + c

Agora desfazendo a substituição:

tan ⁡ u + c = s e n   u   cos ⁡ u   + c

s e n   u   cos ⁡ u   + c = f ( x ) 1 - f ( x ) ) ^ 2   + C

Passo 3

Agora que resolvermos a nossa integral, vamos aplicar os limites de integração que a questão nos deu.  

∫ a b f ' ( x ) 1 - f x 2 3 / 2 d t = f ( x ) 1 - f ( x ) ) ^ 2   ​ a b

Substituindo por: f a = 1 / 3 e f b = 1 / 2 :

f ( x ) 1 - f ( x ) ) ^ 2   ​ a b = 1 / 2 1 - 1 / 4 - 1 / 3 1 - 1 / 9    

Logo,

1 / 2 1 - 1 / 4 - 1 3 1 - 1 9   = 8 - 3 2 6

Sendo assim o item b) a resposta correta

Resposta

b)

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Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 .
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
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Calcule a integralint (1)/(x^2 sqrt(4 x^2 - 1)) d x