Seja n ∈ Q + ; b ∈ R ;     b 2 > x 2 . Prove a fórmula de recorrência abaixo:

∫ b 2 - x 2 n d x = x 2 n + 1 b 2 - x 2 n + b 2 n n + 1 2 ∫ b 2 - x 2 n - 1   d x

Passo 1

Na integral abaixo substitua x = b sin ⁡ t , tal que d x = b cos ⁡ t d t . Assim:

∫ b 2 - x 2 n d x = ∫ b 2 - b 2 sin 2 ⁡ t n b cos ⁡ t d t

= ∫ b 2 n cos 2 n ⁡ t ⋅ b cos ⁡ t d t = ∫ b 2 n + 1 cos 2 n + 1 ⁡ t d t

= ∫ b 2 n - 1 cos 2 n - 1 ⁡ t b 2 - b 2 sin 2 ⁡ t d t

= b 2 ∫ b 2 n - 1 cos 2 n - 1 ⁡ t d t - b 2 n + 1 ∫ cos 2 n - 1 ⁡ t sin ⁡ t ⋅   s i n t   d t

Passo 2

A primeira integral podemos reescrever como:

b 2 ∫ b 2 n - 1 cos 2 n - 1 ⁡ t d t = b 2 ∫ b 2 n - 2 cos 2 n - 2 ⁡ t ⋅ b cos ⁡ t d t

= b 2 ∫ b 2 cos 2 ⁡ t n - 1 ⋅ b cos ⁡ t d t

= b 2 ∫ b 2 - b 2 sin 2 ⁡ t n - 1 ⋅ b cos ⁡ t d t

= b 2 ∫ b 2 - x 2 n - 1 d x

Considerando x = b sin ⁡ t , tal que d x = b cos ⁡ t d t .

Já para a segunda, apliquemos integração por partes:

u = sin ⁡ t d v = cos 2 n - 1 ⁡ t sin ⁡ t ⇒ d u = cos ⁡ t d t v = - 1 2 n cos 2 n ⁡ t

Tal que

b 2 n + 1 ∫ cos 2 n - 1 ⁡ t sin ⁡ t ⋅   s i n t   d t = b 2 n + 1 ( u v - ∫ v d u )

= - b 2 n + 1 2 n sin ⁡ t cos 2 n ⁡ t - b 2 n + 1 ∫ - 1 2 n cos 2 n ⁡ t cos ⁡ t d t

= - b sin ⁡ t 2 n b 2 cos 2 ⁡ t n + 1 2 n ∫ b 2 cos 2 ⁡ t n ⋅ b cos ⁡ t d t

= - b sin ⁡ t 2 n b 2 - b 2 sin 2 ⁡ t n + 1 2 n ∫ b 2 - b 2 sin 2 ⁡ t n ⋅ bcos ⁡ t d t

= - x 2 n b 2 - x 2 n + 1 2 n ∫ b 2 - x 2 n d x

Considerando novamente x = b sin ⁡ t , tal que d x = b cos ⁡ t d t .

Passo 3

Resumindo os resultados, temos:

∫ b 2 - x 2 n d x = b 2 ∫ b 2 - x 2 n - 1 d x - - x 2 n b 2 - x 2 n + 1 2 n ∫ b 2 - x 2 n d x

⇒ 1 + 1 2 n ∫ b 2 - x 2 n d x = x 2 n b 2 - x 2 n + b 2 ∫ b 2 - x 2 n - 1 d x

⇒ ∫ b 2 - x 2 n d x = 2 n 2 n + 1 x 2 n b 2 - x 2 n + 2 n 2 n + 1 b 2 ∫ b 2 - x 2 n - 1 d x

⇒ ∫ b 2 - x 2 n d x = x 2 n + 1 b 2 - x 2 n + n n + 1 / 2 b 2 ∫ b 2 - x 2 n - 1 d x

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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