Sejam I um intervalo aberto contendo [ 0,1 ] e f : I → ] - 6 ,   6 [ uma função derivável, com derivada contínua, tal que f 0 = 35 e f 1 = 32 . Calcule

∫ 0 1 f x 3 f ' x 36 - f x 2 d x

Passo 1

Observa que quando a gente se depara com uma integral, a primeira coisa que a gente faz é observar se ela tem uma carinha que a gente já conhece. Observa que ali temos um 36 - f x 2 .

Se você for observar isso lembra muito a integral que resolvemos pela substituição trigonométrica, né?

Como temos ela sendo do tipo

Chamareos x de f x e a de 6 .

Passo 2

O triângulo então que vamos trabalhar será dado por

f x = 6 c o s θ

f ' x = - 6 s e n θ   d θ

Com isso já podemos retornar pra nossa integral. Ficaremos com

∫ f x 3 f ' x 36 - f x 2 d x

∫ 6 c o s θ 3 ( - 6 s e n θ ) 6 s e n θ d θ

- 216 ∫ cos 3 ⁡ θ   d θ

Passo 3

Para resover a equação do cos 3 ⁡ θ temo macetada já a formulinha que nos dá

∫ cos m ⁡ θ d θ = s e n θ cos m - 1 ⁡ θ + m - 1 m ∫ cos - 2 + m ⁡ θ   d θ

Aonde no nosso caso o m = 3 .

= 2 3 s e n θ + 1 3 s e n θ cos 2 ⁡ θ

Passo 4

Próximo passo é então olhar pra nosso triângulo e trazer nosso resultado para função de f ( x ) novamente.

- 216 2 3 s e n θ + 1 3 s e n θ cos 2 ⁡ θ

- 216 2 3 36 - f x 2 6 + 1 3 36 - f x 2 6 f x 2 36 0 1

- 216 36 - f x 2 9 + f x 2 36 - f x 2 576 0 1

- 216 36 - f 1 2 9 + f 0 2 36 - f 1 2 576 + 216 36 - f 0 2 9 + f 0 2 36 - f 0 2 576

Lembrando que f 1   e   f ( 0 ) nós temos do enunciado.

- 216 2 9 + 1 9 + 216 64 576 + 35 576

- 72 + 297 8 = - 279 8

Resposta

- 279 8

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Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 .
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
Calcule a integral indefinida:int (x^2)/(sqrt(2 - x^2)) d x
Calcule a integral indefinida:int (5 x + 4)/(x^3 sqrt(x^2 + 1)) d x
Calcule a integralint (1)/(x^2 sqrt(4 x^2 - 1)) d x