5. Substituição Inversa

a) ∫ - 1 0 t 3 4 - t 2 d t

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ - 1 0 t 3 4 - t 2 d t .

Como não é uma integral que conseguimos resolver diretamente, precisaremos de alguém método.

Um bizu maneiro é que quando tiver, dentro da integral, x 2 + a 2 , x 2 - a 2 ou a 2 - x 2 (sendo a um número e x a variável), usamos substituição inversa, também conhecida como substituição trigonométrica.

Quando x 2 + a 2 , usamos x = a tan ⁡ θ .

Quando x 2 - a 2 , usamos x = a sec ⁡ θ .

Quando   a 2 - x 2 , usamos x = a sen ⁡ θ   ou x = a cos ⁡ θ .

Bora pra questão.

Passo 2

Como temos   4 - t 2 , vamos usar substituição trigonométrica:

t = 2 sen ⁡ θ

d t = 2 cos ⁡ θ d θ

E para o intervalo de integração:

t = - 1 → θ = - π 6

t = 0 → θ = 0

A integral fica:

∫ - 1 0 t 3 4 - t 2 d t . = ∫ - π 6 0 2 sen ⁡ θ 3 4 - 2 sen ⁡ θ 2 2 cos ⁡ θ d θ

= ∫ - π 6 0 2 sen ⁡ θ 3 4 - 4 sen 2 ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ

= ∫ - π 6 0 2 sen ⁡ θ 3 4 1 - sen 2 ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ

= ∫ - π 6 0 2 sen ⁡ θ 3 4 cos 2 ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ

= ∫ - π 6 0 2 sen ⁡ θ 3 2 cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ

= ∫ - π 6 0 8 sen 3 ⁡ θ d θ

Passo 3

Podemos escrever essa integral como:

∫ - π 6 0 8 sen 3 ⁡ θ d θ = ∫ - π 6 0 8 sen 2 ⁡ θ sen ⁡ θ d θ

= ∫ - π 6 0 8 1 - cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ d θ

= 8 ∫ - π 6 0 sen ⁡ θ d θ - 8 ∫ - π 6 0 cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ d θ

A primeira integral resolvemos direito, né?

8 ∫ - π 6 0 sen ⁡ θ d θ = 8 - cos ⁡ θ - π 6 0

= 8 - cos ⁡ 0 + cos ⁡ - π 6

= 8 - 1 + 3 2

= - 8 + 4 3

Passo 4

Já a segunda integral resolvemos com substituição simples. Repara que a derivada dos termos que está ao quadrado (cosseno) é beeeem parecida com o que está ao lado (seno), então:

u = cos ⁡ θ

d u = - sen ⁡ θ d θ → sen ⁡ θ d θ = - d u

Para o intervalo de integração, temos:

θ = - π 6 → u = 3 2

θ = 0 → u = 1

E a integral fica:

- 8 ∫ - π 6 π 6 cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ d θ = - 8 ∫ 3 2 1 u 2 - d u

= 8 ∫ 3 2 1 u 2 d u

Resolvendo:

= 8 u 3 3 3 2 1

= 8 1 3 - 3 2 3 3

= 8 1 3 - 3 3 8 3

= 8 3 - 3

Agora só falta somar os dois resultados:

= - 8 + 4 3 + 8 3 - 3

= 3 3 - 16 3

Resposta

3 3 - 16 3

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