5. Substituição Inversa

b) ∫ 0 1 2 x 2 1 - x 2 d x

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ 0 1 2 x 2 1 - x 2 d x .

Como não é uma integral que conseguimos resolver diretamente, precisaremos de alguém método.

Um bizu maneiro é que quando tiver, dentro da integral, x 2 + a 2 , x 2 - a 2 ou a 2 - x 2 (sendo a um número e x a variável), usamos substituição inversa, também conhecida como substituição trigonométrica.

Quando x 2 + a 2 , usamos x = a tan ⁡ θ .

Quando x 2 - a 2 , usamos x = a sec ⁡ θ .

Quando   a 2 - x 2 , usamos x = a sen ⁡ θ   ou x = a cos ⁡ θ .

Bora pra questão.

Passo 2

Como temos 1 - x 2 , vamos usar substituição trigonométrica.

x = sen ⁡ θ

d x = cos ⁡ θ d θ

E para o intervalo de integração:

x = 0 → θ = 0

x = 1 2 → θ = π 6

A integral fica:

∫ 0 1 2 x 2 1 - x 2 d x = ∫ 0 π 6 sen ⁡ θ 2 1 - sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ

= ∫ 0 π 6 sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

= ∫ 0 π 6 sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

= ∫ 0 π 6 sen 2 ⁡ θ d θ

Passo 3

Pra resolver essa integral usamos:

sen 2 ⁡ θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2

Então:

∫ 0 π 6 sen 2 ⁡ θ d θ = ∫ 0 π 6 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ

= ∫ 0 π 6 1 2 d θ - ∫ 0 π 6 cos ⁡ 2 θ 2 d θ

= 1 2 θ - 1 4 sen ⁡ 2 θ 0 π 6

= π 12 - 3 8

Resposta

π 12 - 3 8

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