5. Substituição Inversa

d) ∫ 1 x 2 x 2 - 4 d x

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ 1 x 2 x 2 - 4 d x .

Como não é uma integral que conseguimos resolver diretamente, precisaremos de alguém método.

Um bizu maneiro é que quando tiver, dentro da integral, x 2 + a 2 , x 2 - a 2 ou a 2 - x 2 (sendo a um número e x a variável), usamos substituição inversa, também conhecida como substituição trigonométrica.

Quando x 2 + a 2 , usamos x = a tan ⁡ θ .

Quando x 2 - a 2 , usamos x = a sec ⁡ θ .

Quando   a 2 - x 2 , usamos x = a sen ⁡ θ   ou x = a cos ⁡ θ .

Bora pra questão.

Passo 2

Como temos x 2 - 4 , vamos usar substituição trigonométrica:

x = 2 sec ⁡ θ

x = 2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

A integral fica:

∫ 1 x 2 x 2 - 4 d x = ∫ 1 2 sec ⁡ θ 2 2 sec ⁡ θ 2 - 4 2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

= ∫ 2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ d θ 4 sec 2 ⁡ θ 4 sec 2 ⁡ θ - 1

Lembrando que sec 2 ⁡ θ - 1 = tan 2 ⁡ θ , então:

= ∫ 2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ d θ 4 sec 2 ⁡ θ 4 tan 2 ⁡ θ

= ∫ 2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ d θ 4 sec 2 ⁡ θ 2 tan ⁡ θ

= ∫ 1 4 sec ⁡ θ d θ

Passo 3

Lembrando que sec ⁡ θ = 1 / cos ⁡ θ :

= 1 4 ∫ cos ⁡ θ d θ

= 1 4 sen ⁡ θ

Voltando pra x . Como x = 2 sec ⁡ θ , então:

x = 2 1 cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = 2 x

Pra achar o seno:

sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

sen ⁡ θ = 1 - cos 2 ⁡ θ

sen ⁡ θ = 1 - 2 x 2

sen ⁡ θ = x 2 - 4 x

Então:

1 4 sen ⁡ θ = x 2 - 4 4 x

Como é uma integral indefinida, no final adicionamos uma constante:

= x 2 - 4 4 x + C

Resposta

x 2 - 4 4 x + C

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Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 .
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
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Calcule a integral indefinida: ∫ x 2 2 - x 2d x
Calcule a integral ∫ 1 x 2 4 x 2 - 1 d x