5. Substituição Inversa

f) ∫ x 2 1 - x 2 d x

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ x 2 1 - x 2 d x .

Como não é uma integral que conseguimos resolver diretamente, precisaremos de alguém método.

Um bizu maneiro é que quando tiver, dentro da integral, x 2 + a 2 , x 2 - a 2 ou a 2 - x 2 (sendo a um número e x a variável), usamos substituição inversa, também conhecida como substituição trigonométrica.

Quando x 2 + a 2 , usamos x = a tan ⁡ θ .

Quando x 2 - a 2 , usamos x = a sec ⁡ θ .

Quando   a 2 - x 2 , usamos x = a sen ⁡ θ   ou x = a cos ⁡ θ .

Bora pra questão.

Passo 2

Como temos 1 - x 2 , vamos usar substituição trigonométrica:

x = sen ⁡ θ

d x = cos ⁡ θ d θ

A integral fica:

∫ x 2 1 - x 2 d x = ∫ sen ⁡ θ 2 1 - sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ

= ∫ sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

= ∫ sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

= ∫ sen 2 ⁡ θ d θ

Passo 3

Pra resolver essa integral usamos:

sen 2 ⁡ θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2

Então:

∫ sen 2 ⁡ θ d θ = ∫ 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ

= ∫ 1 2 d θ - ∫ cos ⁡ 2 θ 2 d θ

= 1 2 θ - 1 4 sen ⁡ 2 θ

Voltando pra x :

x = sen ⁡ θ → θ = asen ⁡ x

Então:

= 1 2 asen ⁡ θ - 1 4 sen ⁡ 2 asen ⁡ θ

Como é uma integral indefinida, adicionamos uma constante no final:

= 1 2 asen ⁡ θ - 1 4 sen ⁡ 2 asen ⁡ θ + C

Resposta

1 2 asen ⁡ θ - 1 4 sen ⁡ 2 asen ⁡ θ + C

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Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 .
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
Calcule a integral indefinida: ∫ 5 x + 4 x 3 x 2 + 1d x
Calcule a integral indefinida: ∫ x 2 2 - x 2d x
Calcule a integral ∫ 1 x 2 4 x 2 - 1 d x