5. Substituição Inversa

h) ∫ 1 x 2 1 - x 2 d x

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ 1 x 2 1 - x 2 d x .

Como não é uma integral que conseguimos resolver diretamente, precisaremos de alguém método.

Um bizu maneiro é que quando tiver, dentro da integral, x 2 + a 2 , x 2 - a 2 ou a 2 - x 2 (sendo a um número e x a variável), usamos substituição inversa, também conhecida como substituição trigonométrica.

Quando x 2 + a 2 , usamos x = a tan ⁡ θ .

Quando x 2 - a 2 , usamos x = a sec ⁡ θ .

Quando   a 2 - x 2 , usamos x = a sen ⁡ θ   ou x = a cos ⁡ θ .

Bora pra questão.

Passo 2

Como temos 1 - x 2 , vamos usar substituição trigonométrica:

x = sen ⁡ θ

d x = cos ⁡ θ d θ

A integral fica:

∫ 1 x 2 1 - x 2 d x = ∫ 1 sen ⁡ θ 2 1 - sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ

= ∫ cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ

= ∫ cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

= ∫ 1 sen 2 ⁡ θ d θ

Lembrando que csc ⁡ θ = 1 / sen 2 ⁡ θ :

= ∫ csc 2 ⁡ θ d θ

Passo 3

Resolvendo a integral:

= - cot ⁡ θ

Mass precisamos voltar pra x .

Lembrando que cot ⁡ θ = cos ⁡ θ / sen ⁡ θ e como fizemos a substituição x = sen ⁡ θ , podemos achar o cosseno:

cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = 1

cos ⁡ θ = 1 - sen 2 ⁡ θ

cos ⁡ θ = 1 - x 2

Então:

- cot ⁡ θ = - cos ⁡ θ sen ⁡ θ

= - 1 - x 2 x

Como é uma integral indefinida, adicionamos a constante no final:

= - 1 - x 2 x + C

Resposta

- 1 - x 2 x + C

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