5. Substituição Inversa

e) ∫ t 3 1 - t 2 d t

Falaaa... beleza??

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ t 3 1 - t 2 d t .

Como não é uma integral que conseguimos resolver diretamente, precisaremos de alguém método.

Um bizu maneiro é que quando tiver, dentro da integral, x 2 + a 2 , x 2 - a 2 ou a 2 - x 2 (sendo a um número e x a variável), usamos substituição inversa, também conhecida como substituição trigonométrica.

Quando x 2 + a 2 , usamos x = a tan ⁡ θ .

Quando x 2 - a 2 , usamos x = a sec ⁡ θ .

Quando   a 2 - x 2 , usamos x = a sen ⁡ θ   ou x = a cos ⁡ θ .

Bora pra questão.

Passo 1

Como temos 1 - t 2 , vamos usar substituição trigonométrica:

t = sen ⁡ θ

d t = cos ⁡ θ d θ

A integral fica:

∫ t 3 1 - t 2 d t = ∫ sen ⁡ θ 3 1 - sen ⁡ θ 2 d θ

= ∫ sen 3 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ   d θ

= ∫ sen 3 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Passo 2

Agora conseguimos resolver com substituição simples:

u = sen ⁡ θ

d u = cos ⁡ θ d θ

A integral fica:

∫ sen 3 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = ∫ u 3 d u

= u 4 4

Voltando pra θ :

= sen 4 ⁡ θ 4

Voltando pra x , como:

x = sen ⁡ θ → θ = asen ⁡ x

Então:

= asen ⁡ x 4 4

Como é uma integral indefinida, adicionamos uma constante no final:

= asen ⁡ x 4 4 + C

Resposta

asen ⁡ x 4 4 + C

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Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 .
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
Calcule a integral indefinida: ∫ 5 x + 4 x 3 x 2 + 1d x
Calcule a integral indefinida: ∫ x 2 2 - x 2d x
Calcule a integral ∫ 1 x 2 4 x 2 - 1 d x