Um toro é gerado pela rotação do círculo x 2 + y - R 2 = r 2 ao redor do eixo x . Ache o volume delimitado pelo toro.

Passo 1

Para saber o volume que está sendo usado devemos resolver a integral:

V = ∫ a b 2 π y f x d x

Veja bem ,para achar f x primeiro temos que assumir uma relação entre os raios R e r , vamos assumir que R > r . Agora vamos isolar o termo x do círculo:

x = ± r 2 - y - R 2

Vamos pegar a parte positiva do círculo, e integrar multiplicando o resultado por dois, assim vamos ter as duas partes:

x = r 2 - y - R 2

Vamos calcular em função de y , assim podemos usar os limites de integração como y = R + r e y = R - r , como os valores de a e b , respectivamente:

V = 2 ∫ a b 2 π y f x d x = 4 π ∫ R - r R + r y r 2 - y - R 2 d y

Passo 2

Agora vamos fazer substituição, para ficar mais simples, termos o termo y , podemos usar a expressão relacionada a ele, pois quando derivarmos vai ficar apenas uma constante:

u = y - R → y = u + R

Derivando:

d u = d y

Vamos também mudar os limite de integração, assim não vai ser preciso voltar para a variável anterior, a gente vai poder só aplicar:

u = y - R =

⇒ u m á x = R + r - R = r

⇒ u m í n = y - R = R - r - r = - r

Vamos substituir:

V = 2 ∫ a b 2 π y f y x d x

Substituindo o valor de f ( y ) , temos:

V   = 4 π ∫ R - r R + r y r 2 - y - R 2 d y

Fazendo a mudança de variável y → u + R , vem:

= 4 π ∫ - r r u + R r 2 - u 2 d u

∴ V = 4 π ∫ - r r u r 2 - u 2 d u + 4 π R ∫ - r r r 2 - u 2 d u

Prontinho! Agora só precisamos resolver essas duas integrais 😊

Passo 3

Para calcular essaes limites integrais vamos usar a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Com a primeira vamos fazer ums substituição:

v = r 2 - u 2

d v = - 2 u d u → u d u = - d v 2

Substituindo:

∫ u r 2 - u 2 d u = ∫ - v 2 d v = ∫ - v 1 2 2 d v

Agora é simples para achar as primitivas da função, vamos usar duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Assim ficamos com:

∫ - v 1 2 2 d v = - 1 2 ∫ v 1 2 d v = - 1 2 ∙ v 1 2 + 1 1 2 + 1 + C = - 1 2 ∙ v 3 2 3 2 + C = - v 3 2 3 + C

Não esqueça de voltar para a variável u , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ u r 2 - u 2 d u = ∫ - v 1 2 2 d v = - v 3 2 3 + C = - r 2 - u 2 3 2 3 + C

Passo 4

Bem, com a segunda podemos usar a Regra da Substituição Trigonométrica, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos uma expressão da forma a 2 - x 2 , podemos então usar a mudança de variável usando:

u = a sen ⁡ θ = r sen ⁡ θ → θ = arcsen ⁡ u r

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = r cos ⁡ θ d θ

E vamos mudar os limites de integração também:

θ = arcsen ⁡ r r = arcsen ⁡ 1 = π 2

θ = arcsen ⁡ - r r = arcsen ⁡ - 1 = - π 2

Substituindo:

∫ r 2 - u 2 d u = ∫ r 2 - r sen ⁡ θ 2 r cos ⁡ θ d θ = ∫ r 2 - r 2 sen 2 ⁡ θ r cos ⁡ θ d θ = ∫ r 2 ( 1 - sen 2 ⁡ θ )   r cos ⁡ θ d θ = ∫ r 2 ( cos 2 ⁡ θ )   r cos ⁡ θ d θ = ∫ r cos ⁡ θ r cos ⁡ θ d θ = ∫ r 2 cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ r 2 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ = ∫ r 2 2 d θ + ∫ r 2 cos ⁡ 2 θ 2 d θ

Passo 5

Vamos calcular cada uma separadamente:

A primeira é simples, para achar as primitivas da função, vamos usar uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k d x = k x + C

Assim:

∫ r 2 2 d θ = r 2 2 θ + C

Com a segunda vamos fazer uma substituição, pois o cosseno possui uma constante dentro dele:

u = 2 θ

Derivando:

d u = 2 d θ → d θ = d u 2

Vamos substituir:

∫ r 2 cos ⁡ 2 θ 2 d θ = ∫ r 2 cos ⁡ u 4 d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x + C

Aplicando:

∫ r 2 cos ⁡ u 4 d u = r 2 4 ∫ cos ⁡ u d u = r 2 4 sen ⁡ u + C

Passo 6

Agora vamos juntar tudo:

∫ r 2 2 d θ + ∫ r 2 cos ⁡ 2 θ 2 d θ = r 2 2 θ + r 2 4 sen ⁡ u + C

Não esqueça de voltar para a variável θ , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ r 2 2 d θ + ∫ r 2 cos ⁡ 2 θ 2 d θ = r 2 2 θ + r 2 4 sen ⁡ u + C = r 2 2 θ + r 2 4 sen ⁡ 2 θ + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

V = 4 π ∫ - r r u r 2 - u 2 d u + 4 π R ∫ - r r r 2 - u 2 d u = 4 π - r 2 - u 2 3 2 3 - r r + 4 π R r 2 2 θ + r 2 4 sen ⁡ 2 θ π 2 π 2 = 4 π - r 2 - r 2 3 2 3 - - r 2 - - r 2 3 2 3 + 4 π R r 2 2 ∙ π 2 + r 2 4 sen ⁡ 2 π 2 - r 2 2 ∙ - π 2 + r 2 4 sen ⁡ 2 ∙ - π 2 = 4 π 0 - 0 + 4 π R π r 2 4 + 0 - - π r 2 4 + 0 = 4 π R 2 π r 2 4 = 2 π 2 r 2 R

Eaí, você curtiu? Responde Aí!

Resposta

V = 2 π 2 r 2 R

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Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 .
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
Calcule a integral indefinida: ∫ 5 x + 4 x 3 x 2 + 1d x
Calcule a integral indefinida: ∫ x 2 2 - x 2d x
Calcule a integral ∫ 1 x 2 4 x 2 - 1 d x