Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

UNESA, Cálculo Diferencial e Integral II, Banco de Questões - Estácio - AV2, Questão 27

Calcule a integral:

C x y   d y - y 2   d x

Onde C é o quadrado cortado no primeiro quadrante pelas retas x = 1 e y = 1

Passo 1

Quando temos uma integral de linha em uma região fechada, temos que pensar imediatamente no teorema de Green:

P d x + Q d y = R Q x - P y d x d y

No nosso caso:

P = - y 2

Q = x y

E a nossa regiaõ é o quadrado de lado 1 . Com um dos vértices na origem.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos aplicar o teorema. Primeiro precisamos calcular as derivadas:

Q x x y = y

P y = y - y 2 = - 2 y

E substituindo isso na integral (que vamos chamar de I ) :

I = C x y   d y - y 2   d x = R y - ( - 2 y ) d x d y

I = R 3 y   d x d y

Passo 3

Agora é só integrar isso ao longo do quadrado! O x vai variar de 0 até 1 , e o y vai variar de 0 até 1 também.

I = 0 1 0 1 3 y   d x d y

E agora vamos organizar um pouco a integral:

I = 0 1 d x 0 1 3 y   d y

E já está tudo pronto para resolver:

I = 1 - 0 3 1 2 2 - 3 0 2 2

I = 3 2

Resposta

O valor da integral é 3 / 2 .

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