Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função f :

b) f x = ∫ x 0 1 + sec ⁡ t d t

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema nos deu uma função:

f x = ∫ x 0 1 + sec ⁡ t d t

e pediu para calcularmos a derivada de f x ! Então vamos aplicar a derivada e ver o que surge:

d d x f x = f ' x = d d x ∫ x 0 1 + sec ⁡ t d t

E isso aqui tem cara de que?

De teorema fundamental do cálculo! O teorema fundamental do cálculo nos diz que a derivada da integral de uma função é a própria função aplicada no limite superior (quando esse limite superior é uma função e o inferior uma constante)! Aqui temos o contrário: mas daí é só inverter os limites de integração e trocar o sinal da integral!

E é isso que vamos fazer!

mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

O teorema fundamental do cálculo nos diz que:

No nosso caso:

f ' x = d d x ∫ x 0 1 + sec ⁡ t d t = d d x - ∫ 0 x 1 + sec ⁡ t d t = - d d x ∫ 0 x 1 + sec ⁡ t d t

E nossa função f ( t ) é - 1 + sec ⁡ t , e precisamos aplicar ela em t = x para obter f ' ( x ) (que é a g ' ( x ) do exemplo!):

f ' x = - 1 + sec ⁡ x

E é só isso!

Beleza?

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

f ' x = - 1 + sec ⁡ x

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