Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função f :

b) f x = ∫ 1 e x ln ⁡ t d t

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema nos deu uma função:

f x = ∫ 1 e x ln ⁡ t d t

e pediu para calcularmos a derivada de f x ! Então vamos aplicar a derivada e ver o que surge:

d d x f x = f ' x = d d x ∫ 1 e x ln ⁡ t d t

E isso aqui tem cara de que?

De teorema fundamental do cálculo! Então a gente vai começar resolvendo a integral para descobrir quem é a função f x e depois a gente deriva a função encontrada. Beleza?

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Então partiu.

Passo 2

A função f x dada no enunciado é igual a solução dessa integral aqui:

∫ 1 e x ln ⁡ t d t

Essa não é uma integral tão trivial assim. Para resolvê-la teremos que usar o método da integração Por Partes.

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Então vamos escolher

u = ln ⁡ t

E

d u = 1 t d t

E precisaremos fazer

d v = d t

Então

v = t

Aplicando na fórmula, nossa integral se torna:

∫ ln ⁡ t d t = t ln ⁡ t - ∫ t 1 t d t

∫ ln ⁡ t d t = t ln ⁡ t - ∫ 1 d t

∫ ln ⁡ t d t = t ln ⁡ t - t

Agora podemos aplicar o Teorema Fundamental do cálculo substituindo os limites de integração no ligar de t em nossa integral. Assim:

∫ 1 e x ln ⁡ t d t = ( t ln ⁡ t - t ) e x 1

∫ 1 e x ln ⁡ t d t = e x ln ⁡ e x - e x - ( 1 ⋅ ln ⁡ 1 - 1 )

O que resolvendo teremos como:

∫ 1 e x ln ⁡ t d t = x e x - e x + 1

Lembrando que essa integral era a nossa f x , então podemos dizer que

f x = x e x - e x + 1

Agora basta derivar essa função em relação a x como o enunciado pediu e nossa missão estará completa.

Passo 3

Assim, se

f x = x e x - e x + 1

Devemos usar a regra do produto para a primeira parcela e derivar normalmente as demais:

f ' x = 1 ⋅ e x + x e x - e x

Que simplificando se torna:

f ' x = x e x

E esse é o nosso resultado.

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

f ' x = x e x

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