Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função f :

b) f x = ∫ x 2 x ( t 2 + 1 ) d t

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema nos deu uma função:

f x = ∫ x 2 x ( t 2 + 1 ) d t

e pediu para calcularmos a derivada de f x ! Então vamos aplicar a derivada e ver o que surge:

d d x f x = f ' x = d d x ∫ x 2 x ( t 2 + 1 ) d t

E isso aqui tem cara de que?

De teorema fundamental do cálculo! O teorema fundamental do cálculo nos diz que a derivada da integral de uma função é a própria função aplicada no limite superior (quando esse limite superior é uma função e o inferior uma constante)!

( x ) até uma constante qualquer C e depois de C até o limite superior ( 2 x ) . Assim ficamos com duas integrais:

∫ x C ( t 2 + 1 ) d t + ∫ C 2 x ( t 2 + 1 ) d t

E para ter a primeira integral no formato que a gente quer, precisamos ainda inverter os limites de integração: ao inverter os limites, o sinal da integral fica invertido!

E é isso que vamos fazer!

mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

O teorema fundamental do cálculo nos diz que:

No nosso caso:

f ' x = d d x ∫ x 2 x ( t 2 + 1 ) d t

E dividimos em duas integrais:

f ' x = d d x ∫ x C ( t 2 + 1 ) d t + ∫ C 2 x ( t 2 + 1 ) d t

Precisamos ainda inverter os limites da integral da esquerda:

f ' x = d d x - ∫ C x ( t 2 + 1 ) d t + ∫ C 2 x ( t 2 + 1 ) d t

E nossa função f ( t ) é t 2 + 1 , e precisamos aplicar ela em t = x na primeira integral e t = 2 x na segunda para obter f ' ( x ) (que é a g ' ( x ) do exemplo!):

f ' x = - x 2 + 1 + 2 x 2 + 1 = - x 2 - 1 + 4 x 2 + 1 = 3 x 2

f ' x = 3 x 2

E é só isso!

Beleza?

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

f ' x = 3 x 2

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