Calcule a derivada F ' ( x ) sendo dadas:

F x = ∫ 0 s e n   x ( 1 - t 2 ) d t

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa função F ( x ) que é definida em termos de uma integral

F x = ∫ 0 s e n   x ( 1 - t 2 ) d t

E pediu para calcularmos a derivada da função F ( x ) ! Como fazer isso?

Pelo teorema fundamental do cálculo!

Esse teorema nos diz que: se temos uma função F que é definida como uma integral

F x = ∫ a b f ( t ) d t

Temos que a derivada da função F ( x ) é o integrando aplicado nos limites de integração! Assim

F ' x = f a - f ( b )

Então a ideia é aplicar isso na função dada!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa função é

F x = ∫ 0 s e n   x ( 1 - t 2 ) d t

Nosso integrando é f t = ( 1 - t 2 ) , beleza? Aplicando o TFC temos

F ' x = ( 1 - t 2 ) 0 s e n   x

F ' x = 1 - s e n 2 x ⏝ = cos 2 ⁡ x - ( 1 - 0 2 )

F ' x = cos 2 ⁡ x - 1

Beleza?

E é isso!

Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

F ' x = cos 2 ⁡ x - 1

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