Calcule as derivadas das seguintes funções, utilizando para isso o Teorema Fundamental do Cálculo:

c)

h y = ∫ 1 ln ⁡ y e - x 2 d x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a derivada da função abaixo baseado no Teorema Fundamental do Cálculo:

h y = ∫ 1 ln ⁡ y e - x 2 d x

Mas antes, sempre é bom relembrar um pouquinho desse teorema.

Seja g x uma função contínua no intervalo a , b dada por:

g x = ∫ a u x v t d t

Então a derivada g ' x é dada por:

g ' x = v u x u ' x

Lembrando também que, pelo Teorema Fundamental do cálculo, temos que se α x for uma função contínua no intervalo a , b . Então:

β x = ∫ a x α x d x ∴ β ' x = α x

Agora é só aplicar!!

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, analisando a função que nos foi dada, vemos que:

h y = ∫ 1 ln ⁡ y e - x 2 d x

Fazendo u y = ln ⁡ y , temos:

h y = ∫ π u y e - x 2 d x

Sabendo disso, vamos considerar uma função p y que, a partir de h y que acabamos de encontrar, seja desse modo:

p y = ∫ π y e - x 2 d x

Perceba que colocamos os limites de integração tem uma constante no limite inferior e um y no superior!

Passo 3

Pelo que foi apresentado no Passo 1, temos:

h y = p u y

Aplicando a Regra da Cadeia, temos:

h ' y = p ' u y u ' y

Onde, pelo Teorema Fundamental do cálculo, podemos encontrar p ' u y :

p ' y = e - x 2 ∴ p ' u x = e - ln ⁡ y 2

Por outro lado, sabemos que u y = ln ⁡ y , portanto:

u ' y = 1 y

Já temos p ' u y e u ' y . Agora, é só substituirmos para encontrarmos:

h ' y = p ' u y u ' y ∴

h ' y = e - ln ⁡ y 2 y

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

h ' y = e - ln ⁡ y 2 y

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