Calcule as derivadas das seguintes funções, utilizando para isso o Teorema Fundamental do Cálculo:

e)

p t = ∫ t t 2 1 + 1 2 + v d v

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a derivada da função abaixo baseado no Teorema Fundamental do Cálculo:

p t = ∫ t t 2 1 + 1 2 + v d v

Eitaaa, agora temos duas funções nos limites de integração!! E agora???

Bom... primeiro, antes de relembrar o Teorema Fundamental do Cálculo, podemos separar a integral da seguinte forma:

∫ t t 2 1 + 1 2 + v d v = ∫ t C 1 + 1 2 + v d v + ∫ C t 2 1 + 1 2 + v d v

Onde C é uma constante qualquer.

E, invertendo os limites de integração da primeira integral para que a função fique no limite superior (você vai já já entender hehe), temos:

∫ t t 2 1 + 1 2 + v d v = - ∫ C t 1 + 1 2 + v d v + ∫ C t 2 1 + 1 2 + v d v ∴

p t = - p 1 t + p 2 t

Agora, vamos relembrar um pouquinho desse teorema!!

Passo 2

Seja g x uma função contínua no intervalo a , b dada por:

g x = ∫ a u x v t d t

Então a derivada g ' x é dada por:

g ' x = v u x u ' x

Lembrando também que, pelo Teorema Fundamental do cálculo, temos que se α x for uma função contínua no intervalo a , b . Então:

β x = ∫ a x α x d x ∴ β ' x = α x

Agora é só aplicar para cada uma das duas integrais que foram separadas e depois somar as derivadas encontradas da seguinte forma:

p ' t = - p 1 ' t + p 2 ' t

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 3

Assim, analisando a primeira integral que encontramos, vemos que:

p 1 t = ∫ C t 1 + 1 2 + v d v

Fazendo u t = t , temos:

p 1 t = ∫ C u t 1 + 1 2 + v d v

Sabendo disso, vamos considerar uma função f t que, a partir de p 1 t que acabamos de encontrar, seja desse modo:

f t = ∫ C t 1 + 1 2 + v d v

Perceba que colocamos os limites de integração tem uma constante no limite inferior e um t no superior!

Passo 4

Pelo que foi apresentado no Passo 2, temos:

p 1 t = f u t

Aplicando a Regra da Cadeia, temos:

p 1 ' t = f ' u t u ' t

Onde, pelo Teorema Fundamental do cálculo, podemos encontrar f ' u t :

f ' t = 1 + 1 2 + v ∴ f ' u t = 1 + 1 2 + t

Por outro lado, sabemos que u t = t , portanto:

u ' t = 1 2 t

Já temos f ' u t e u ' t . Agora, é só substituirmos para encontrarmos:

p 1 ' t = f ' u y u ' y ∴

p 1 ' t = 1 + 1 2 + t * 1 2 t

Agora vamos para a segunda derivada!!

Passo 5

Assim, analisando a primeira integral que encontramos, vemos que:

p 2 t = ∫ C t 2 1 + 1 2 + v d v

Fazendo u t = t 2 , temos:

p 2 t = ∫ C u t 1 + 1 2 + v d v

Sabendo disso, vamos considerar uma função f t que, a partir de p 2 t que acabamos de encontrar, seja desse modo:

f t = ∫ C t 1 + 1 2 + v d v

Perceba que colocamos os limites de integração tem uma constante no limite inferior e um t no superior!

Passo 6

Pelo que foi apresentado no Passo 2, temos:

p 2 t = f u t

Aplicando a Regra da Cadeia, temos:

p 2 ' t = f ' u t u ' t

Onde, pelo Teorema Fundamental do cálculo, podemos encontrar f ' u t :

f ' t = 1 + 1 2 + v ∴ f ' u t = 1 + 1 2 + t

Por outro lado, sabemos que u t = t 2 , portanto:

u ' t = 2 t

Já temos f ' u t e u ' t . Agora, é só substituirmos para encontrarmos:

p 2 ' t = f ' u y u ' y ∴

p 2 ' t = 1 + 1 2 + t * 2 t

Agora vamos somar as derivadas!!

Passo 7

Aplicando os resultados de p 1 ' t e de p 2 ' t que encontramos, temos:

p ' t = - p 1 ' t + p 2 ' t ∴

p ' t = - 1 + 1 2 + t * 1 2 t + 1 + 1 2 + t * 2 t ∴

p ' t = 1 + 1 2 + t * 2 t - 1 2 t

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

p ' t = 1 + 1 2 + t * 2 t - 1 2 t

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