Calcule as derivadas das seguintes funções, utilizando para isso o Teorema Fundamental do Cálculo:

f)

q t = ∫ ln ⁡ t e - t t g   e - z 1 + t g e z d z

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a derivada da função abaixo baseado no Teorema Fundamental do Cálculo:

q t = ∫ ln ⁡ t e - t t g   e - z 1 + t g e z d z

Eitaaa, agora temos duas funções nos limites de integração!! E agora???

Bom... primeiro, antes de relembrar o Teorema Fundamental do Cálculo, podemos separar a integral da seguinte forma:

∫ ln ⁡ t e - t t g   e - z 1 + t g e z d z = ∫ ln ⁡ t C t g   e - z 1 + t g e z d z + ∫ C e - t t g   e - z 1 + t g e z d z

Onde C é uma constante qualquer.

E, invertendo os limites de integração da primeira integral para que a função fique no limite superior (você vai já já entender hehe), temos:

∫ ln ⁡ t e - t t g   e - z 1 + t g e z d z = - ∫ C ln ⁡ t t g   e - z 1 + t g e z d z + ∫ C e - t t g   e - z 1 + t g e z d z ∴

q t = - q 1 t + q 2 t

Agora, vamos relembrar um pouquinho desse teorema!!

Passo 2

Seja g x uma função contínua no intervalo a , b dada por:

g x = ∫ a u x v t d t

Então a derivada g ' x é dada por:

g ' x = v u x u ' x

Lembrando também que, pelo Teorema Fundamental do cálculo, temos que se α x for uma função contínua no intervalo a , b . Então:

β x = ∫ a x α x d x ∴ β ' x = α x

Agora é só aplicar para cada uma das duas integrais que foram separadas e depois somar as derivadas encontradas da seguinte forma:

q ' t = - q 1 ' t + q 2 ' t

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 3

Assim, analisando a primeira integral que encontramos, vemos que:

q 1 t = ∫ C ln ⁡ t t g   e - z 1 + t g e z d z

Fazendo u t = ln ⁡ t , temos:

q 1 t = ∫ C u t t g   e - z 1 + t g e z d z

Sabendo disso, vamos considerar uma função f t que, a partir de q 1 t que acabamos de encontrar, seja desse modo:

f t = ∫ C t t g   e - z 1 + t g e z d z

Perceba que colocamos os limites de integração tem uma constante no limite inferior e um t no superior!

Passo 4

Pelo que foi apresentado no Passo 2, temos:

q 1 t = f u t

Aplicando a Regra da Cadeia, temos:

q 1 ' t = f ' u t u ' t

Onde, pelo Teorema Fundamental do cálculo, podemos encontrar f ' u t :

f ' t = t g   e - z 1 + t g e z ⇒ f ' u t = t g   e - ln ⁡ t 1 + t g e ln ⁡ t ∴

f ' t = t g   e - z 1 + t g e z ⇒ f ' u t = t g   t 1 + t g t

Por outro lado, sabemos que u t = ln ⁡ t , portanto:

u ' t = 1 t

Já temos f ' u t e u ' t . Agora, é só substituirmos para encontrarmos:

q 1 ' t = f ' u y u ' y ∴

q 1 ' t = t g   t 1 + t g t * ln ⁡ t

Agora vamos para a segunda derivada!!

Passo 5

Agora, analisando a segunda integral que encontramos, vemos que:

q 2 t = ∫ C e - t t g   e - z 1 + t g e z d z

Fazendo u t = e - t , temos:

q 1 t = ∫ C u t t g   e - z 1 + t g e z d z

Sabendo disso, vamos considerar uma função f t que, a partir de q 2 t que acabamos de encontrar, seja desse modo:

f t = ∫ C t t g   e - z 1 + t g e z d z

Perceba que colocamos os limites de integração tem uma constante no limite inferior e um t no superior!

Passo 6

Pelo que foi apresentado no Passo 2, temos:

q 2 t = f u t

Aplicando a Regra da Cadeia, temos:

q 2 ' t = f ' u t u ' t

Onde, pelo Teorema Fundamental do cálculo, podemos encontrar f ' u t :

f ' t = t g   e - z 1 + t g e z ⇒ f ' u t = t g   e - e - t 1 + t g e e - t

Por outro lado, sabemos que u t = e - t , portanto:

u ' t = - e - t

Já temos f ' u t e u ' t . Agora, é só substituirmos para encontrarmos:

q 2 ' t = f ' u y u ' y ∴

q 2 ' t = - t g   e - e - t 1 + t g e e - t * e - t

Agora vamos somar as derivadas!!

Passo 7

Aplicando os resultados de q 1 ' t e de q 2 ' t que encontramos, temos:

q ' t = - q 1 ' t + q 2 ' t ∴

q ' t = - t g   t 1 + t g t * ln ⁡ t + - t g   e - e - t 1 + t g e e - t * e - t

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

q ' t = - t g   t 1 + t g t * ln ⁡ t + - t g   e - e - t 1 + t g e e - t * e - t

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