Calcule as derivadas das seguintes funções, utilizando para isso o Teorema Fundamental do Cálculo:

b)

g x = ∫ π x 1 2 + cos ⁡ θ d θ

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a derivada da função abaixo baseado no Teorema Fundamental do Cálculo:

g x = ∫ π x 1 2 + cos ⁡ θ d θ

Mas antes, sempre é bom relembrar um pouquinho desse teorema.

Seja h x uma função contínua no intervalo a , b dada por:

h x = ∫ a u x v t d t

Então a derivada h ' x é dada por:

h ' x = v u x u ' x

Lembrando também que, pelo Teorema Fundamental do cálculo, temos que se α x for uma função contínua no intervalo a , b . Então:

β x = ∫ a x α x d x ∴ β ' x = α x

Agora é só aplicar!!

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, analisando a função que nos foi dada, vemos que:

g x = ∫ π x 1 2 + cos ⁡ θ d θ

Fazendo u x = x , temos:

g x = ∫ π u x 1 2 + cos ⁡ θ d θ

Sabendo disso, vamos considerar uma função p x que, a partir de g x que acabamos de encontrar, seja desse modo:

p x = ∫ π x 1 2 + cos ⁡ θ d θ

Perceba que colocamos os limites de integração tem uma constante no limite inferior e um x no superior!

Passo 3

Pelo que foi apresentado no Passo 1, temos:

g x = p u x

Aplicando a Regra da Cadeia, temos:

g ' x = p ' u x u ' x

Onde, pelo Teorema Fundamental do cálculo, podemos encontrar p ' u x :

p ' x = 1 2 + cos ⁡ θ ∴ p ' u x = 1 2 + cos ⁡ x

Por outro lado, sabemos que u x = x , portanto:

u ' x = 1 2 x

Já temos p ' u x e u ' x . Agora, é só substituirmos para encontrarmos:

g ' x = p ' u x u ' x ∴

g ' x = 1 2 + cos ⁡ x * 1 2 x

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

g ' x = 1 2 + cos ⁡ x * 1 2 x

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