Considere a função g = g ( x ) , x > 0 , dada por:

g x = ∫ x x 2 e t t d t

Calcule f x = d g d x , justificando todas as passagens.

Passo 1

É aquela história, para derivar uma integral nós, pelo T.F.C., pegamos o limite que é função de x , colocamos ele no lugar do t e depois multiplicamos o termo pela derivada dessa função que está no limite de integração e que acabamos de substituir no t , que aparece pela Regra da Cadeia. Vou dar uma breve arrumada na equação para deixar na cara que costumamos usar nas questões desse tipo:

g ( x ) ∫ x x 2 e t t d t = ∫ C x 2 e t t d t + ∫ x C e t t d t

= ∫ C x 2 e t t d t - ∫ C x e t t d t

g ' x = d ∫ C x 2 e t t d t d x - d ∫ C x e t t d t d x

Certo, agora fazemos o que falei antes para cada uma delas e depois juntamos:

d ∫ C x 2 e t t d t d x = e x 2 x 2 x 2 ' = e x 2 x 2 2 x

= 2 e x 2 x

d ∫ C x e t t d t d x = e x x x ' = e x x 1 2 x

= e x 2 x

Junta tudo agora:

g ' x = d ∫ C x 2 e t t d t d x - d ∫ C x e t t d t d x = 2 e x 2 x - e x 2 x

Resposta

g ' x = 2 e x 2 x - e x 2 x

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