Se f é contínua em [ a , b ] , então o Teorema fundamental do Cálculo afirma que a derivada da função x → ∫ a x f ( t ) d t é igual a f ( x ) no intervalo ( a , b ) . Vamos usar este resultado para calcular a derivada da função

g x = ∫ a x 3 s e n 3 ( t ) d t

  1. Verifique que, se F x = ∫ a x s e n 3 ( t ) d t e c t = x 3 , então g x = ( F ∘ c ) ( x )
  2. Use a regra da cadeia e o Teorema Fundamental do Cálculo para determinar g ' ( x )

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema nos deu essa função aqui

g x = ∫ a x 3 s e n 3 ( t ) d t

g ( x ) pode ser escrita como uma composição de duas funções! Aqui é preciso lembrar de função composta! É como descascar uma cebola: a camada mais de fora vai ser uma função e a de dentro vai ser outra!

E na letra (b) pede para usar o Teorema Fundamental do Cálculo para determinar a derivada de g ( x ) ! Esse teorema nos diz o seguinte:

Supondo:

g x = ∫ a x f ( t ) d t

Então a derivada de g é

g ' x = f ( x )

e é isso! Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa função é

g x = ∫ a x 3 s e n 3 ( t ) d t

Do ponto de vista de uma função composta, aquele x 3 no limite superior pode ser encarado como uma outra função! Mais interna! Assim uma função de ‘fora’ seria

F x = ∫ a x s e n 3 ( t ) d t

E aquele x no superior seria nossa função mais interna: x 3 . Assim a função g seria composta da F com uma c x = x 3

F c ( x ) = ∫ a c ( x ) s e n 3 ( t ) d t = ∫ a x 3 s e n 3 ( t ) d t = g ( x )

E é isso!

Passo 3

Agora vamos analisar a derivada g ' ( x ) ! Como consideramos a g como uma composição de duas funções: a derivada dela precisa ser feita através da Regra da Cadeia

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é o produto da função mais de forma (mantendo o argumento da dentro) pela derivada da função de dentro:

f g x → f ' = f ' g x . g ' ( x )

Beleza? No nosso caso a função mais de fora é F ( x ) e a de dentro é c x = x 3 , então pela regra da cadeia

g x = F ( c ( x ) )

g ' x = F ' c x . c ' ( x )

Então

g ' x = F ' c x . 3 x 2

F ' ( c ( x ) ) ?

Agora que entra o teorema fundamental do cálculo!! Precisamos relembrar desse resultado aqui

F c ( x ) = ∫ a c ( x ) s e n 3 ( t ) d t = ∫ a x 3 s e n 3 ( t ) d t = g ( x )

E pelo TFC temos que

g x = ∫ a x f ( t ) d t

Então a derivada de g (uma função qualquer, não confundir com a nossa!) é

g ' x = f ( x )

Então no nosso caso:

F c ( x ) = ∫ a c ( x ) s e n 3 ( t ) d t

E a derivada:

F ' x = s e n 3 ( x 3 )

Agora é só juntar tudo isso!

g ' x = F ' c x . 3 x 2

g ' x = 3 x 2 s e n 3 ( x 3 )

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

a )   d e m o n s t r a ç ã o

b ) g ' x = 3 x 2 s e n 3 ( x 3 )

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