Derivada de Funções dadas por Integral

( e ) Considere a função f :   R → R dada por

f ( x ) = ∫ 3 2 x 3 + x   2 t 3 t 2 + 16 d t

⋆ Determine f ( 1 ) e f ( - 1 ) .

⋆ Calcule f   ′   ( x ) , utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos pede para calcularmos f ( 1 ) , f ( - 1 ) e f   ′   ( x ) , sendo

f ( x )   = ∫ 3 2 x 3 + x   2 t 3 t 2 + 16 d t .

Como se trata de uma derivada de uma função que é uma integral vamos utilizar o teorema fundamental do cálculo, que nos diz que sendo

F ( x ) = ∫ w ( x ) u ( x ) f ( t ) d t

então temos que a derivada é dada por

d F d x ( x ) = f ( u ) u ' ( x ) - f ( g ) w ' ( x )

Então vamos lá!

Passo 2

Então vamos primeiro calcular f ( 1 ) , para isso substituímos x = 1 nos limites de integração

f ( 1 )   = ∫ 3 2 ( 1 ) 3 + 1   2 t 3 t 2 + 16 d t = ∫ 3 3   2 t 3 t 2 + 16 d t

Assim, como os limites de integração são iguais, temos que a integral é nula, então:

f ( 1 )   = 0 .

Passo 3

Agora vamos calcular f ( - 1 ) , para isso substituímos x = - 1 nos limites de integração

f ( - 1 )   = ∫ 3 2 ( - 1 ) 3 + 1   2 t 3 t 2 + 16 d t = ∫ 3 - 3   2 t 3 t 2 + 16 d t

Agora vamos fazer a seguinte substituição:

u = t 2 + 16 , d u = 2 t   d t

2 t 3 d t = ( u - 16 ) d u

Olhando para os limites de integração,

u ( 3 ) = 3 2 + 16 = 25

u ( - 3 ) = ( - 3 ) 2 + 16 = 25

Assim,

∫ 3 - 3   2 t 3 t 2 + 16 d t = ∫ 25 25   ( u - 16 ) u d u

como os limites de integração são iguais, temos que essa integral também é nula, então:

f ( - 1 )   = 0 .

Passo 4

Então vamos calcular f   ′   ( x ) , usando o teorema fundamental do cálculo

f   ′   ( x )   =   2 ( 2 x 3 + 1 ) 3 ( 2 x 3 + 1 ) 2 + 16 d d x ( 2 x 3 + 1 ) - 2 ( 3 ) 3 ( 3 ) 2 + 16 ( 0 ) = 2 ( 2 x 3 + 1 ) 3 ( 2 x 3 + 1 ) 2 + 16 ( 6 x 2 )

Assim, f   ′   ( x ) é dada por

f   ′   ( x )   = 12 x 2 ( 2 x 3 + 1 ) 3 ( 2 x 3 + 1 ) 2 + 16 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ( 1 )   = f ( - 1 ) = 0 e f   ′   ( x ) = 12 x 2 ( 2 x 3 + 1 ) 3 ( 2 x 3 + 1 ) 2 + 16 .

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