Derivada de Funções dadas por Integral

( d ) Considere a seguinte função

f :   R → R

x → ∫ 2 x 2 + x   e - t 2 d t

⋆ Calcule f ( 1 ) ;

⋆ Calcule f   ′   ( 0 ) .

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos pede para calcularmos f ( 1 ) e f   ′   ( 0 ) , sendo

f ( x )   = ∫ 2 x 2 + x   e - t 2 d t .

Como se trata de uma derivada de uma função que é uma integral vamos utilizar o teorema fundamental do cálculo, que nos diz que sendo

F ( x ) = ∫ w ( x ) u ( x ) f ( t ) d t

então temos que a derivada é dada por

d F d x ( x ) = f ( u ) u ' ( x ) - f ( g ) w ' ( x )

Então vamos lá!

Passo 2

Então vamos primeiro calcular f ( 1 ) , para isso substituirmos x = 1 nos limites de integração

f ( 1 )   = ∫ 2 1 2 + 1   e - t 2 d t = ∫ 2 2   e - t 2 d t

Assim, como os limites de integração são iguais, temos que a integral é nula, então:

f ( 1 )   = 0 .

Passo 3

Então vamos calcular f   ′   ( x ) , usando o teorema fundamental do cálculo

f   ′   ( x )   =   e - ( x 2 + x ) 2 d d x ( x 2 + x ) - e - 2 2 ( 0 ) =   e - ( x 2 + x ) 2 ( 2 x + 1 )

Assim, f   ′   ( 0 ) é dada por

f   ′   ( 0 )   =   e - ( 0 ) 2 ( 2 ( 0 ) + 1 ) = 1 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ( 1 )   = 0 e f   ′   ( 0 ) = 1.

Exercícios de Livros Relacionados

Use a parte 1 do teorema fundamental do cálculo para encontrar a derivada da função: h x = ∫ 2 1 / x arctan ⁡ t d t
Cada uma das seguintes funções resolve um dos problemas de valor inicial dos Exercícios 65-68. Qual função resolve qual problema? Justifique brevemente suas respostas. y = ∫ 1 x 1 t d t - 3 y = ∫ 0 x
Ache a integral indefinida geral. Ilustre fazendo o gráfico de vários membros da família na mesma tela. ∫ cos ⁡ x - 2 s e n x d x
A região no primeiro quadrante, limitada pela curva y = 5 - x x + 1 2 , pelo eixo x e pelo eixo y gira em torno do eixo x . Ache o volume do sólido gerado.
Em uma cidade com 12000 pessoas, a taxa de crescimento de uma epidemia de gripe é conjuntamente proporcional ao número de pessoas tiveram a gripe e ao número de pessoas que não a contraíram. Cinco dia