1. Para F x = ∫ - 7 x e t 2 d t , determine d F d t 1 .
  2. Considere G x = ∫ - 7 s e n x e t 2 d t e calcule d G d t π .

Passo 1

a) Vou começar te dando um bizu: toda vez que você tem uma função definida por integral, o integrando é bem feinho e ele te pedir a derivada dessa função, você pensa logo na parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo! Olha só o que ele diz. Se:

F x = ∫ c x f t d t

Sendo c   uma constante e o extremo superior dessa integral o argumento x de F x . A derivada disso fica:

d F d x x = f x

Nossa, é só substituir x em t ? Isso mesmo! Vamos ver como funciona para o nosso caso!

Passo 2

Cara, quem é a nossa F x ? Ela tem essa cara:

F x = ∫ - 7 x e t 2 d t

E aí comparando com o TFC:

F x = ∫ c x f t d t

Repara que o argumento dela é o x sozinho no extremo superior da integral e a gente tem que

f t = e t 2

Segundo esse teorema, se a gente só substituir o x no lugar do t , achamos a função da derivada:

d F d x x = f x

d F d x x = e x 2

E ele pediu o valor dessa derivada em x = 1 , então é só substituir:

d F d x 1 = e 1 2 = e

Passo 3

b) Aqui a gente tem o mesmo caso, né? Precisamos derivar uma função que é definida por uma integral. Então vamos usar o TFC aqui de novo. Nossa função tem essa cara:

G x = ∫ - 7 s e n x e t 2 d t

Mas repara que o argumento de G x , ou seja, o extremo superior dessa integral, não é só x , é s e n   x . Então a gente vai dizer que G x é uma função composta. E como deriva função composta? Usando a regrinha da cadeia!

E como fica usar a regra da cadeia com o Teorema Fundamental do Cálculo? Cara, se a gente chamar:

h x = s e n   x

Nossa função fica assim:

G x = ∫ - 7 h x e t 2 d t

Aí a gente pode dizer que:

G x = I h x

Sendo que:

I x = ∫ - 7 x e t 2 d t

Passo 4

E como é a regra da cadeia? A gente deriva a função de fora no ponto da de dentro e depois multiplica pela derivada da função de dentro, né? A função de fora é uma função definida por integral. Então para derivar ela, usamos o TFC como a gente viu no passo 1.

Só vamos substituir o extremo superior da integral (que no nosso caso vale h x = s e n   x ) em t . Aí a derivada de fora no ponto da de dentro fica:

e t 2 = e h x 2 = e s e n   x 2

E aí falta a derivada da função de dentro, ou seja:

h ' x = s e n   x ' = cos ⁡ x

E aí a nossa derivada de G x , pela regra da cadeia, é o produto entre essas duas coisas

G ' x = e s e n 2 x ⋅ cos ⁡ x

Passo 5

Mas ele quer essa derivada no ponto x = π , aí substituímos esse valor de x na nossa derivada:

G ' x = e s e n 2 x ⋅ cos ⁡ x

d G d x π = e s e n 2 π cos ⁡ π = e 0 ⋅ - 1

d G d x π = 1 ⋅ - 1 = - 1

Resposta

a) d F 1 d x = e

b) d G π d x = - 1

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