Encontre (sem calcular a integral) a derivada da função

h x = ∫ 2 x 2 t l n t d t

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo na paz por aí?

Vamos aqui precisar utilizar a parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo. Você se lembra dele? Vou te refrescar a memória!!

A Parte 1 do Teorema Fundamental do Calculo diz que se

g x = ∫ a x f t d t

então

g ' x = f x

Vamos partir desse teorema pra gente resolver esse problema!!

Mas se liga que no teorema o limite superior da integral tem que ser x e no nosso caso é x 2 , então vamos precisar fazer umas manipulações, beleza?

Passo 2

Olhando pra a função dada:

f t = t l n t

Vamos chamar de u = x 2

Logo d u = 2 x   d x

d u d x = 2 x

Pela regra da cadeia, sabemos que:

d h d x = d h d u d u d x

Passo 3

Do Teorema temos que:

g x = ∫ a x f t d t

então

g ' x = f x

Lembra que dizemos que u = x 2 ? Então, usando a regra da cadeia, podemos substituir e ficamos com:

d h d x = d h d u d u d x

d h d x = d d u   ∫ 2 u t l n t d t d u d x ⏟ 2 x

Então, pela parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo, e substituindo u a gente consegue ver que:

d h d x = d d u   ∫ 2 u t l n t d t   2 x

Passo 4

O próximo passo é basicamente a gente repete o que está dentro da integral e faz a subtração dos limites.

h ' x = u ln ⁡ u - 2 ln ⁡ 2   2 x

Porém u = 2 x

h ' x = 2 x ln ⁡ 2 x - 2 ln ⁡ 2 2 x  

Resposta

h ' x = 2 x ln ⁡ 2 x - 2 ln ⁡ 2 2 x  

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