Encontre uma função f e um número real a tal que 6 + ∫ a x f t t 2 d t = 2 x para todo x > 0 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a e f usando a expressão 6 + ∫ a x f t t 2 d t = 2 x , para todo x > 0 .

Pra isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC), que nos diz que se uma função é contínua e g x = ∫ a x f ( t ) d t , então g ' x = f ( x ) .

Assim, vamos derivar a expressão dos dois lados e encontrar f ( x ) usando o TFC. Em seguida, vamos substituir x = a pra encontrar seu valor na expressão.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando toda expressão:

d d x 6 + ∫ a x f t t 2 d t = d d x 2 x

Pelo TCF, se ∫ a x f ( t ) d t , então g ' x = f ( x ) . Daí podemos derivar a expressão:

f x x 2 = 2 2 x

f ( x ) = x 2 x

E encontramos:

f x = x 3 / 2

Passo 3

Agora precisamos encontrar a , para isso vamos fazer x = a na expressão:

6 + ∫ a a f t t 2 d t = 2 a

Como os limites de integração são iguais, temos que essa integral vale zero. Assim:

6 + 0 = 2 a

a = 3

a = 9

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f x = x 3 / 2

a = 9

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