Questão 1

Seja

f x = ∫ x 0 s e n t 2 d t

Calcule f ' ( x )

Passo 1

Bom galera, essa é uma questão sobre o teorema fundamental do cálculo. Vem comigo, confia!

De acordo com esse teorema, podemos falar que:

Seja uma função f ( x ) que é dada como:

f ( x ) = ∫ a x g t d t

Se g ( t ) é uma função contínua no intervalo de integração, então temos que:

f ' x = g x

A nossa função nesse caso g ( t ) é uma função contínua, pois ela é dada por uma função trigonométrica contínua composta com um polinômio, e ambos são contínuos.

Tá, mas no nosso caso, o intervalo de integração não vai de a até x , mas sim de x até 0 . O que fazer?

Passo 2

O primeiro passo vai ser inverter os intervalos de integração, e para isso só precisamos multiplicar a integral por - 1 , de forma que teremos:

f x = ∫ x 0 s e n t 2 d t = - ∫ 0 x s e n t 2 d t

Então tá show, agora está mais parecido com o que temos no teorema fundamental do cálculo, mas ainda assim, não temos uma função x no limite superior, temos uma x e precisamos lidar com isso também.

Passo 3

O esquema aqui vai ser o seguinte:

Vamos chamar uma função g ( x ) nova que atende os requisitos do TFC.

g x = - ∫ 0 x s e n t 2 d t

De forma que sabemos pelo TFC que:

g ' x = - s e n x 2

Agora repara só. A nossa função f ( x ) nada é mais do que a função g ( x ) só que no lugar do x colocamos x , certo?

Então, podemos fazer o seguinte:

f x = g x

Ou seja, se eu quero encontrar a derivada dessa função, como a g se trata de uma função composta, eu posso aplicar a regra da cadeia, e assim vou ter:

f ' x = g ' x × x '

Derivando g em função de x , teremos:

g ' x = - s e n x 2 = - s e n x

E por fim, derivando x , teremos:

x ' = x 1 2 ' = 1 2 x - 1 2 = 1 2 x

Resultando por fim em:

f ' x = - 1 2 x s e n x

Resposta

f ' x = - 1 2 x s e n x

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