Seja:

f ( x ) = x 4   +   21 e - 4 x 2

e

l i m x → ∞ 1 x 2 ∫ a x b x f ( u ) d u = 44

Com a ,   b números reais tais que a + b = 11 , o valor de b - a é:

  1. 48
  2. 16
  3. 24
  4. 40
  5. 32

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 1. Dessa vez vamos fazer uso do teorema fundamental do cálculo!!! Lembram dele?

Ele diz que se

F ( x ) = ∫ a x f ( u ) d u

F ' ( x ) = f ( x )

Lembraram? Boa!

Além disso, podemos combinar esse teorema com a regra da cadeia, chegando na seguinte conclusão

F ( x ) = ∫ a g ( x ) f ( u ) d u

F ' ( x ) = f ( g ( x ) ) * g ' ( x )

Show? Então bora pra questão.

Sabendo que

f ( x ) = x 4   +   21 e - 4 x 2

e

l i m x → ∞ 1 x 2 ∫ a x b x f ( u ) d u = 44

Com a ,   b números reais tais que a + b = 11 , queremos o valor de b - a

E aí como fazemos isso? Bem, precisamos fazer algumas análises. Primeiro se

l i m x → ∞ 1 x 2 ∫ a x b x f ( u ) d u = 44

Isso quer dizer que ∫ a x b x f ( u ) d u cresce de forma similar a 1 x 2 , pois se cresce mais rápido, esse limite seria infinito, e se cresce mais devagar zero. Dessa forma,podemos concluir que para

l i m x → ∞ 1 x 2 ∫ a x b x f ( u ) d u = 44

Então temos que

∫ a x b x f ( u ) d u =   44 x 2   +   h ( x )

onde h ( x ) → 0 quando x → ∞

Essa é a parte mais difícil dessa questão. Agora, só precisamos utilizar o teoremoa fundamental do cálculo para descobrir b - a

Passo 2

∫ a x b x f ( u ) d u =   44 x 2   +   h ( x )

onde h ( x ) → 0 quando x → ∞

Vamos derivar dos dois lados, e usar o teorema fundamental do cálculo

d d x ∫ a x b x f ( u ) d u = d d x (   44 x 2   +   h ( x ) )

⇒ b f ( b x ) - a f ( a x ) = 88 x   +   h ' ( x )

Como

f ( x ) = x 4   +   21 e - 4 x 2

Então

b 2 x 4   +   b 21 e - 4 b 2 x 2 - a 2 x 4   +   21 e - 4 a 2 x 2 = 88 x   +   h ' ( x )

A parte que nos interessa é

b 2 x 4 - a 2 x 4 = 88 x

Já que as outras parcelas zeram quando x → ∞ . Desenvolvendo a expressão acima temos:

( b 2 - a 2 ) x 4 = 88 x

Usando o fato que a + b = 11

⇒ ( b 2 - a 2 ) x 4 = 88 x

⇒ ( b + a ) ( b - a ) x 4 = 88 x

⇒ 11 ( b - a ) x 4 = 88 x

⇒ ( b - a ) x = 32 x

⇒ ( b - a ) = 32

Dessa forma, chegamos a conclusão que

( b - a ) = 32

Valor que está presente na alternativa e )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

e )

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