10.1 Seja h x = ∫ 0 2 x 3 cos ⁡ t 2 d t . Encontre h 0 e h ' x .

Passo 1

Falaaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos calcular h 0 e depois a derivada h ' x .

Pra isso, vamos lembrar também da propriedade de integrais de quando os limites de integração são iguais:

∫ a a f x d x = 0

E do Teorema Fundamental do Cálculo que diz que se f t é uma função contínua em a , b e g x = ∫ a x f t d t   com a ≤ x ≤ b , então g x também é contínua no intervalo a , b e g ' x = f x , no intervalo a , b .

Passo 2

Primeiro vamos calcular h 0 :

h 0 = ∫ 0 2 0 3 cos ⁡ t 2 d t

= ∫ 0 0 cos ⁡ t 2 d t

Ohhh.. uma integral com os limites de integração iguais, então:

h 0 = 0

Passo 3

Pra calcular a derivada, usaremos o Teorema Fundamental do Cálculo.

Nós não temos só x no limite de integração de cima. Quando temos alguma função no limite de integração de cima, nós usamos a regra da cadeia, que vai ser só calcular a derivada desse limite de integração e multiplicar pelo resultado “normal” do teorema, lembrando que no lugar de onde seria x colocamos o limite de integração:

∫ 0 2 x 3 cos ⁡ t 2 d t ' = cos ⁡ x 2 6 x 2

Então:

h ' x = 6 x 2 cos ⁡ x 2

Resposta

6 x 2 cos ⁡ x 2

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