Seja g x = ∫ x x t 4 + 1 3 d t . Encontre g ' x .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

No enunciado nos deram uma função g x dada pela integral da função f t = t 4 + 1 3 com t variando entre x e x .

O objetivo dessa questão é basicamente calcular a derivada da função g x

Tem ideia de como podemos resolver esse problema?? 🤔🤔

Nesses casos, a primeira coisa que temos que observar, é se a função de integração é contínua.

Caso f t for contínua, pelo teorema fundamental do cálculo a integral definida de uma função tem a seguinte regra

∫ a b f t d t = F a - F b

Onde F é a função integrada de f t .

Com isso, derivamos o resultado da integração e obtemos os valores que estamos procurando.

Entendeu? Bora ver como funciona na prática!

Passo 2

Como vimos no passo anterior a integral definida de uma função é dada como

∫ x x t 4 + 1 3 d t = F x - F x

Quando a gente integra uma função e deriva de volta, obtemos a mesma função que já tínhamos no início, concorda?

Ou seja

g ' x = F x ' - F x '

F x ' já sabemos que é a função f t substituindo t por x , ou seja

F ' x = x 4 + 1 3

Mas o mesmo de aplica para F x ' ?

Não! Isso porque perceba que x é uma função que vamos chamar de h x , portando, temos uma função composta F x = F g x

E como calculamos uma derivada de função composta? Pela regra da cadeia, correto?

Lembra como aplicamos a regra da cadeia?

Quando temos uma função composta e precisamos deriva-la, aplicamos essa regra que consiste em derivar a função de dentro e multiplicar pela derivada da função de fora.

Veja só

g ' x = F ' x - x ' · F ' x

Entendeu? Bora ver como fazemos nesse caso!

Passo 3

Já sabemos que a derivada de F ' x = x 4 + 1 3 e substituindo t por x em F ' x , temos

g ' x = x 4 + 1 3 - x ' · x 4 + 1 3

Derivando a raiz de x pelo método de derivação polinomial se escrevermos x como x 1 2

d x 1 2 d x = 1 2 x 1 2 - 1 = 1 2 x

Substituindo em g ' x e simplificando nossa função, temos

g ' x = x 4 + 1 3 - x 2 + 1 3 2 x

Essa é nossa função g ' x !

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

g ' x = x 4 + 1 3 - x 2 + 1 3 2 x

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