Seja g x = ∫ x 1 - 3 x 2 e c o s ⁡ ( t ) d t . Encontre g ' ( x ) .

Passo 1

Fala aí turminha, tudo bem? Vamos detonar essa questão!

Basicamente, temos uma função g que é resultado da seguinte integral:

g x = ∫ x 1 - 3 x 2 e c o s ⁡ ( t ) d t

Queremos calcular g ' ( x ) . Puts, derivar uma integral? Como é que faz isso?

Então, vamos usar um artificio muito legal que vem do TFC (Teorema fundamental do cálculo). Nele, pra qualquer função continua f ( x ) , podemos dizer que:

∫ a b f x   d t = F a - F b

Onde F é qualquer primitiva de f . Isso matematicamente significa que:

F ' x = f ( x )

Isso pro nosso problema vai ser bem útil, pois como queremos encontrar g ' ( x ) , usaremos essa ideia da primitiva de uma função.

Passo 2

Temos então que, pro nosso caso:

g x = ∫ x 1 - 3 x 2 e c o s ⁡ ( t ) d t

Pelo TFC, como mostrei no passo anterior, podemos descrever essa integral também como:

∫ x 1 - 3 x 2 e c o s ⁡ ( t ) d t = F 1 - 3 x 2 - F ( x )

Onde F ' t = f ( t ). Escrevendo matematicamente pro nosso caso:

g ' x = ( F 1 - 3 x 2 - F x ) '

Agora no próximo passo vamos resolver essa derivada pela regra da cadeia.

Passo 3

Nossa derivada é:

g ' x = ( F 1 - 3 x 2 - F x ) '

Aqui temos que aplicar a regra da cadeia porque temos uma derivada que inclui duas funções. Pra derivar isso, vamos usar o seguinte formato:

F a - F b ' = F ' a a ' - F ' ( b ) ( b ) '

Logo, pro nosso caso:

g ' x = F ' 1 - 3 x 2 1 - 3 x 2 ' - F ' x ( x ) '

Derivando o termo:

g ' x = - 6 x F ' 1 - 3 x 2 - 1 ⋅ F ' x

Porém, sabemos que pelo TFC,

F ' t = f ( t )

E,

f t = e cos ⁡ t

Então concluímos que:

g ' x = - 6 x e cos ⁡ 1 - 3 x 2 - e c o s ⁡ ( x )

E é isso turminha! Se ainda restou alguma dúvida ou algo não ficou claro, manda um feedback pra gente que teremos o maior prazer de te ajudar! Até a próxima questão e bons estudos!

Resposta

g ' x = - 6 x e cos ⁡ 1 - 3 x 2 - e c o s ⁡ ( x )

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