Seja h x = ∫ 1 x 3 s e c t 2 + 5 t d t . Encontre h 1 e h ' x .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Temos uma função h x dada por uma integral da função s e c t 2 + 5 t cujos limites de integração vão de x 3 a 1 .

O objetivo dessa questão é calcular o valor de h 1 e obter a função h ' x !

Ta certo, mas como podemos fazer isso?? 🤔

Essa função é muito difícil de integrar então vamos perder muito tempo se tentarmos aplicar a integração nessa função e depois obter os valores que foram pedidos no enunciado.

O que podemos fazer é pegar um atalho para resolver os probleminhas.

Sabe quais atalhos são esses? Bora lá que eu te mostro! 😉

Passo 2

Quando queremos calcular uma função qualquer f x onde x é um valor numérico, por exemplo f 2 o que temos que fazer é substituir a variável x pelo número 2 na função, não né?

Aqui vamos fazer a mesma coisa

Se

h x = ∫ 1 x 3 s e c t 2 + 5 t d t → h 1 = ∫ 1 1 3 s e c t 2 + 5 t d t

Se eu saio do meu quarto, vou para a cozinha e volto para o quarto, qual foi a distância do meu ponto final e inicial? 0 não é? Até porque eu voltei para o mesmo ponto que eu estava.

Agora na função h 1 , lembrando que uma integral diz respeito a área abaixo da curva, qual é a área de um quadrado cuja base começa em 1 e termina em 1 ? 0 , não é?

Se uma integral de f x for F x , os limites de integração forem os mesmos valores, a integral só pode ser 0 , já que vamos ter f x = F 1 - F 1 = 0 . Logo

h 1 = ∫ 1 1 s e c t 2 + 5 t d t = 0

Entendeu essa parte? 😎

Passo 3

Agora vamos calcular h ' x , como nossa função h é

h x = ∫ 1 x 3 s e c t 2 + 5 t d t

Se a gente considerar x 3 como g x , vamos ter

h x = ∫ 1 g x s e c t 2 + 5 t d t = f g x

Ou seja, uma função composta.

E como calculamos a derivada de uma função composta? Regra da cadeia, não é? 😁

Se h x = f g x , h ' x = g ' x f ' g x

Mas como f g x é uma integral, f ' g x = s e c s e c   g x  

Ou seja

h ' x = g ' x f ' g x

h ' x = d x 3 d x s e c g x 2 + 5 g x

Derivando x 3 pelo método de derivação polinomial

h ' x = 3 x 3 - 1 s e c x 3 2 + 5 x 3

h ' x = 3 x 2 s e c x 6 + 5 x 3

Como o limite inferior é uma constante, quando integrarmos para ela, vamos obter uma constante e derivando uma constante, o seu resultado é 0 !

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

h 1 = ∫ 1 1 s e c t 2 + 5 t d t = 0

h ' x = 3 x 2 s e c x 6 + 5 x 3

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