Seja f : R → R uma função contínua e considere F : R → R definida por F x = s i n s i n   x     ∫ 0 c o s x   f t d t .   Sabendo que a reta tangente ao gráfico de F no ponto π 4 ,   F ( π 4 ) )   tem equação y = 2 x + 1 o valor de f ( 2 / 2 ) é:

a) π - 2

b) 3 π - 10

c) 5 π 2 - 8

d) 3 π 2 - 04

e) 2 π - 6

Passo 1

Faaala lindos, tudo em cima? Bora lá pra cima da questão! Mastigando o enunciado, a questão nos fala que existe uma função f continua em todo o R (espaço dos reais) que é definida por:

F x = s i n x     ∫ 0 c o s x   f t d t

Beleza, uma função definida por um produto de duas funções, sendo uma delas uma integral. E olha o que mais interessante a questão nos fala: existe uma reta tangente ao gráfico de F no ponto π 4 , que tem equação:

y = 2 x + 1

Mas gente, o que é essa reta tangente que vamos chamar de h ( x ) à alguma função f ( x ) em um certo ponto? É a melhor aproximação do valor daquele ponto na função f ( x ) . Ou seja, considerando h ( x ) como a reta tangente, temos que:

h x 0 = f ( x 0 )

Salva essa informação!!

Terminando de mastigar o enunciado, a questão no final nos pede o valor de f ( x ) em um determinado ponto f 2 2 . Pois bem, munidos disso, vamos começar a desenvolver essa questão.

Passo 2

Lembra do que eu te falei sobre aquela ideia da reta tangente? Poisé, vamos usar ela agora. A questão fala pra gente que existe uma reta tangente a F ( x ) no ponto π / 4 , que tem formato:

y = 2 x + 1

Ou seja, se aplicarmos o valor de π / 4 nessa reta tangente, encontraremos o mesmo valor de F π 4 , o que já é uma informação super útil. Dessa forma, aplicando esse ponto na reta tangente:

y = 2 x + 1

x = π 4

y = π 2 + 1

Belezura! E sabe o mais legal? A mesma regra vale para a derivada das duas funções. Ou seja:

F ' π 4 = y ' π 4

Ou seja:

F ' π 4 = ( 2 x + 1 ) '

F ' π 4 = 2

E agora José? Calma que no próximo passo vamos prosseguir!

Passo 3

Aqui partimos para uma terceira artimanha que podemos utilizar em integrais, especialmente em derivadas de integrais. Sabe como ele é definido? Se liga: a derivada de uma integral definida de uma função g ( t ) , é igual a:

d d x ∫ f 1 ( x ) f 2 ( x ) g t d t = f 2 ' x ⋅ g f 2 x - f 1 ' x ⋅ g f 1 ( x )

Dessa forma, conseguimos calcular a derivada da nossa função F ( x ) :

F x = s i n x     ∫ 0 c o s x   f t d t

Dessa forma, temos:

d d x F x = d d x s i n x     ∫ 0 c o s x   f t d t

d d x s i n x     ∫ 0 c o s x   f t d t = c o s x     ∫ 0 c o s x   f t d t + s i n x   ∫ 0 c o s x   f t d t

E aqui utilizamos a passagem que mostrei no início desse passo:

d d x ∫ f 1 ( x ) f 2 ( x ) g t d t = f 2 ' x ⋅ g f 2 x - f 1 ' x ⋅ g f 1 ( x )

Logo, para:

s i n x   ∫ 0 c o s x   f t d t

Temos:

c o s x     ∫ 0 c o s x   f t d t + s i n x   ∫ 0 c o s x   f t d t

= c o s x     ∫ 0 c o s x   f t d t + s i n x     d d x c o s x   ⋅ f c o s x   - d d x   f ( 0 )

Desenvolvendo:

F ' ( x ) = c o s x   ∫ 0 c o s x   f t d t + s i n x     d d x c o s x     ⋅ f c o s x   - 0

F ' ( x ) = c o s x   ∫ 0 c o s x   f t d t + s i n x     d d x c o s x     ⋅ f c o s x     - 0

F ' ( x ) = c o s x       ∫ 0 c o s x   f t d t + s i n x     s i n x     f ( c o s x   )  

F ' x = c o s x     ∫ 0 c o s x   f t d t + x   f c o s   ( x )

Vamos , só pra simplificar a escrita, chamar g ( x ) de ∫ 0 c o s x   f t d t . Portanto, temos que:

F ' x = c o s x     g ( x ) + x   f c o s   x

E, logo, a própria F ( x ) :

F x = s i n x   ⋅ g ( x )

Passo 4

Beleza galera, e aqui que as coisas ficam mais claras pra gente! Agora que temos a cara da função F ' ( x ) , podemos utilizar os valores para o ponto π / 4 que achamos no passo 2! Dessa forma,

F x = s i n x   ⋅ g ( x )

F π 4 = 1 + π 2 =   s i n π 4   ⋅ g π 4

Logo,

F π 4 = 1 + π 2 = 2 2   g π 4

E, também temos:

F ' x = c o s x     g ( x ) + x   f c o s   x

F ' π 4 = 2 = 2 2   g π 4 - 1 2 f 2 2

Lá ele! Achamos o f 2 2 ! E conseguimos montar um sistema de forma:

I → 2 2   g π 4 = 1 + π 2  

I I → 2 2   g π 4 - 1 2 f 2 2 = 2  

Aplicando I em I I , temos que:

I I → 2 2   g π 4 - 1 2 f 2 2 = 2  

I I → 1 + π 2 - 1 2 f 2 2 = 2  

Isolando   f 2 2 , temos:

  f 2 2 = π - 2

Encontrando justamente a alternativa a) como resposta!

E aqui encerramos nossa questão! Ou seja, alternativa correta é o item a). É isso gente boa!  Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você

Resposta

a ) π - 2

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