Seja f x função contínua tal que f - x = - f x + 22 x 2 + 13

O valor de é:

1 π ∫ 0 2 π f ( s e n x ) d x

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo na paz por aí?

Vamos primeiro entender essas paradas doidas que apareceram aí no enunciado, né! Bem, o enunciado tá nos dando uma dica de que se eu pegar f ( s e n x ) e substituir por f ( - s e n x ) eu vou poder abrir minha f - s e n x = - f s e n x + 22 s e n ³ ( x ) + 13 . Então a ideia é: vamos substituir isso dentro da integral e depois resolver pra ver o que vai dar!!

Passo 2

Substituindo, vamos ter:

1 π ∫ 0 2 π ( - f ( s e n x + 22 s e n 3 x + 13 ) d x

1 π - ∫ 0 2 π f ( s e n x ) + ∫ 0 2 π 22 s e n 3 x + ∫ 0 2 π 13 ) d x

Passo 3

Vamos agora resolver essas três integrais que apareceram ali!! Vamos começar pela mais tranquilinha!!

∫ 0 2 π 13 d x = 13 x 0 2 π

13 2 π - 0 = 26 π

Passo 4

∫ 0 2 π 22 s e n 3 x d x = 22 ∫ 0 2 π s e n 3 x d x

Mas podemos reescrever esse sen³(x) = sen²(x)sen(x), certo?

s e n 2 x s e n x = 1 - c o s 2 x s e n ( x )

22 ∫ 0 2 π s e n 3 x d x = 22 ∫ 0 2 π 1 - c o s 2 x s e n ( x ) d x

Fazendo a distributiva, temos:

22 ∫ 0 2 π s e n x d x - ∫ 0 2 π c o s 2 x s e n x d x

A primeira integral vai nos dar:

∫ 0 2 π s e n x d x = - cos ⁡ x ​ 0 2 π

- cos ⁡ 2 π - cos ⁡ 0 = 0

Passo 5

∫ 0 2 π c o s 2 x s e n x d x

Vamos pensar no seguinte aqui pra usar de malandragem: “quem que quando eu derivo vai dar cos²(x)sen(x)?

c o s ³ ( x )

Se você derivar esse carinha aí de cima, tu concorda que vai dar:

3 c o s 2 x s e n ( x )

Mas aí apareceu um 3 multiplicando esse cara que não apareceu no nosso integrando ali, certo? Então aí vem a malandragem, quando isso acontecer, basta você dividir por esse fator que tá ali!

Em outras palavras:

∫ 0 2 π c o s 2 x s e n x d x = c o s 3 x 3 0 2 π

E como sabemos o valor de cos ⁡ 2 π = cos ⁡ 0 = 0 , logo:

c o s 3 x 3 0 2 π = 0

Passo 6

Perceba que a integral que ficou faltando resolver foi:

∫ 0 2 π f ( s e n x ) d x

Que se observamos nos diz que teremos uma função de sen(x) que será integrada e vai nos conceder uma função de cos(x), que já vimsoq eu no intervalo de 0 até 2 π nos dará zero!

Logo:

∫ 0 2 π f s e n x d x = 0

E por fim

1 π ∫ 0 2 π f ( s e n x ) d x = 1 π - ∫ 0 2 π f ( s e n x ) + ∫ 0 2 π 22 s e n 3 x + ∫ 0 2 π 13 ) d x = 1 π 26 π

Logo

1 π ∫ 0 2 π f ( s e n x ) d x = 26

Resposta

26

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