Sendo f x = ∫ 0 sin ⁡ x 1 + t 2   d t e g y = ∫ 3 y f ( x ) d x , encontre g ' ' π 6 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a segunda derivada de g ( y ) , sabendo que g ( y ) é igual a integral definida de f ( x ) e que f ( x ) é definida pela integral f x = ∫ 0 sin ⁡ x 1 + t 2   d t .

Calma, o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) vai nos ajudar. Isso porque, ele nos diz que se uma função é contínua em um intervalo [ a ,   b ] e g x = ∫ a b f ( t ) d t , então g ' x = f ( x ) . Além disso, a parte dois do Teorema nos diz que ∫ a b f ( x ) = F b - F ( a ) , onde F é a antiderivada de f , ou seja F ' ≡ f .

Nós vamos usar as duas partes do Teorema pra determinar g ( y ) e em seguida obter a segunda derivada de g no ponto π 6 .

Vamos lá!

Passo 2

Usando a primeira parte do TFC, temos que g ' x = f ( x ) , assim:

g ' y = d d y ∫ 3 y f ( x ) d x

Mas f y = ∫ 0 sin ⁡ y 1 + t 2   d t , então:

g ' ' y = d d y f y

= d d y ∫ 0 sin ⁡ y 1 + t 2   d t

Chamando u = sin ⁡ ( y ) temos:

d u d y = cos ⁡ y

E pela Regra da Cadeia:

d g d y = d g d u d u d y  

Substituindo na equação, encontramos:

g ' ' y = d d u ∫ 0 sin ⁡ y 1 + t 2 d t ∙ d u d y

Dessa forma, pelo TFC:

g ' ' y = 1 + u 2 ∙ d u d y

Como d u d y = cos ⁡ ( y ) e u = sin ⁡ ( y ) , fica:

g ' ' y = 1 + sin 2 ⁡ ( y )   cos ⁡ ( y )

Aplicando y = π 6 , obtemos:

g ' ' π 6 = 1 + sin 2 ⁡ π 6   cos ⁡ π 6

g ' ' π 6 = 1 + 1 4 ∙ 3 2 = 5 2 ∙ 3 2

g ' ' π 6 = 15 4

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

g ' ' π 6 = 15 4

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