Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as derivadas das funções:

g )   g x = ∫ 2 x 3 x u 2 - 1 u 2 + 1 d u  

Passo 1

Faaaaala povo bonito, como é que vocês estão?

Nessa questão recebemos a função:

g x = ∫ 2 x 3 x u 2 - 1 u 2 + 1 d u

E, precisamos calcular a sua derivada, g ' ( x ) .

Para fazer isso, devemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC).

Pelo TFC, se temos a integral:

g x =   ∫ p x q x f u d u

E se F é a primitiva de f , então podemos afirmar que:

g x = F q x - F p x

Mas, não estamos interessados em calcular g , queremos a sua derivada. Daí, podemos usar esse resultado do TFC e derivar a expressão acima. Precisaremos usar a regra da cadeia, e também o fato de que se F é a primitiva de f , então F ' = f .

Assim:

g ' x = F ' q x ⋅ q ' x - F ' ( p x ⋅ p ' ( x )

Usando F ' u = f ( u ) , vem:

g ' x = f q x ⋅ q ' x - f p x ⋅ p ' ( x )

Essa é a expressão mais geral que vamos trabalhar pra resolver o nosso problema. E, diga-se de passagem haha, ela nos ajuda bastante, pois a única informação que ainda não temos é quanto vale:

q ' ( x ) p ' ( x )

Tranquilo? Vamo nessa!

Passo 2

Como vimos, recebemos a função:

g x = ∫ 2 x 3 x u 2 - 1 u 2 + 1 d u

E, precisamos calcular g ' ( x ) . Para isso, vamos usar:

g ' x = f q x ⋅ q ' x - f p x ⋅ p ' x

onde:

f u = u 2 - 1 u 2 + 1 q x = 3 x p x = 2 x

Perfeito! Vamos calcular as derivadas de q e de p , que são as únicas informações que faltam para aplicarmos a expressão que desenvolvemos pra h ' ( x ) .

Começando por q , temos:

q ' x = 3 ⋅ x 1 - 1

= 3

Já para p , temos:

p ' x = 2 ⋅ x 1 - 1

= 2

Logo, a nossa expressão geral se transformar em:

g ' x = 3 x 2 - 1 3 x 2 + 1 ⋅ 3 - 2 x 2 - 1 2 x 2 + 1 ⋅ 2

Portanto:

g ' x = 3 ⋅ 9 x 2 - 1 9 x 2 + 1 - 2 ⋅ 4 x 2 - 1 4 x 2 + 1  

Excelente galera! Mandaram bem demais 😊

Até a próxima!!

Resposta

g ' x = 3 ⋅ 9 x 2 - 1 9 x 2 + 1 - 2 ⋅ 4 x 2 - 1 4 x 2 + 1

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