Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as derivadas das funções:

a )   g x =   ∫ 1 x 1 t 3 + 1 d t

Passo 1

Faaala galerinha, como é que estão as coisas por aí?

Nessa questão precisamos usar o nosso querido Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para encontrar a derivada da função g ( x ) , onde g ( x ) é dada por:

g x =   ∫ 1 x 1 t 3 + 1 d t

Bom, para resolver o exercício, vamos dar uma revisada no TFC.

Segundo ele, se f ( t ) é uma função contínua em [ a , b ] e

g x =   ∫ a x f t d t

onde x ∈ [ a , b ] , então g ( x ) também é contínua em [ a , b ] e:

g ' x = f x ,     e m   a , b .

Ou seja galera, a derivada da nossa função, é basicamente igual à função que está sendo integrada. Sacaram?

Bora matar o problema então!

Passo 2

Como vimos, temos:

g x =   ∫ 1 x 1 t 3 + 1 d t

Comparando com o TFC que apresentamos anteriormente, temos que:

f t = 1 t 3 + 1

Para o TFC ser aplicável precisa ser obedecida uma condição:

f ( t ) é contínua em [ a , b ] onde x ∈ [ a , b ]

Vamos verificar se essa condição é obedecida no nosso item.

Será que f ( t ) possui algum ponto de descontinuidade?

f t = 1 t 3 + 1

A única restrição que existe é quanto ao denominador, que nunca pode zerar. Ou seja:

t 3 + 1 ≠ 0

∴ t 3 ≠ - 1

⇒ t ≠ - 1

Ou seja, o único ponto de descontinuidade da função acontece em t =   - 1 . Mas, na nossa integral, temos que:

x ≥ 1

Logo, em qualquer intervalo fechado do tipo [ 1 . b ] que contenha x , a nossa função f é contínua. Satisfazendo, assim, a condição para aplicação do TFC 😊

Passo 3

Aplicando o TFC, vimos que:

g ' x = f ( x )

Assim:

g ' x = 1 x 3 + 1

Prontinho galera! Com isso matamos a questão 😊

Obrigado pela atenção!

Resposta

g ' x = 1 x 3 + 1

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