Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as derivadas das funções:

b )   g r =   ∫ 0 r x 2 + 4 d x

Passo 1

E aí galera do bem, tudo na paz com vocês?

Nessa questão precisamos usar o nosso querido Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para encontrar a derivada da função g ( r ) , onde g ( r ) é dada por:

g r =   ∫ 0 r x 2 + 4 d x

Bom, para resolver o exercício, vamos dar uma revisada no TFC.

Segundo ele, se f ( t ) é uma função contínua em [ a , b ] e

g x =   ∫ a x f t d t

onde x ∈ [ a , b ] , então g ( x ) também é contínua em [ a , b ] e:

g ' x = f x ,     e m   a , b .

Ou seja galera, a derivada da nossa função, é basicamente igual à função que está sendo integrada. Sacaram?

Bora matar o problema então!

Passo 2

Como vimos, temos:

g r =   ∫ 1 r x 2 + 4 d x

Nota que tem uma pequena mudança em relação à variável principal (no TFC geralmente apresentamos sendo x a principal e t a de integração, aqui r é a principal e x a de integração).

Comparando com o TFC que apresentamos anteriormente, temos que:

f x = x 2 + 4

Para o TFC ser aplicável precisa ser obedecida uma condição:

f ( x ) é contínua em [ a , b ] onde r ∈ [ a , b ]

Vamos verificar se essa condição é obedecida no nosso item.

Será que f ( r ) possui algum ponto de descontinuidade?

f x = x 2 + 4

Então, como temos uma raiz quadrada, um possível ponto de descontinuidade ocorreria se tivéssemos o termo dentro da raiz negativo. Vamos ver se isso acontece:

x 2 + 4 < 0

∴ x 2 < - 4

Porém, como estamos nos números reais,

x 2 ≥ 0   ∀   x ∈ R

Ou seja, não existe nenhum valor de x que cause problema na nossa função, por ser um ponto de descontinuidade.

Assim, concluímos que pra qualquer intervalo [ a . b ] que contenha r a nossa função f é sempre contínua e a condição para aplicação do TFC é obedecida.

Passo 3

Massa! Já que o TFC é obedecido vamos aplicá-lo. Assim:

g ' r = f r

⇒ g ' r = r 2 + 4

Prontinho!! Matamos mais uma 😊

Até a próxima!!

Resposta

g ' r = r 2 + 4

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