Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as derivadas das funções:

c )   g x =   ∫ x 1 cos ⁡ t d t

Passo 1

Eaí galera, tudo bomm??

Nessa questão precisamos usar o nosso querido Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para encontrar a derivada da função g ( x ) , onde g ( x ) é dada por:

g x =   ∫ x 1 cos ⁡ t d t

Bom, para resolver o exercício, vamos dar uma revisada no TFC.

Segundo ele, se f ( t ) é uma função contínua em [ a , b ] e

g x =   ∫ a x f t d t

onde x ∈ [ a , b ] , então g ( x ) também é contínua em [ a , b ] e:

g ' x = f x ,     e m   a , b .

Ou seja galera, a derivada da nossa função, é basicamente igual à função que está sendo integrada. Sacaram?

Massa! Vamos então primeiro deixar nossa g ( x ) com a mesma carinha do TFC, depois verificamos se a condição do TFC foi obedecida e por fim aplicamos na nossa função 😊

Vamos lá!

Passo 2

Pra começar, precisamos deixar a nossa g ( x ) com a mesma cara do TFC apresentado. Temos:

g x =   ∫ x 1 cos ⁡ t d t

O problema é que nos limites de integração o limite superior é 1 e o inferior é x . No TFC a variável aparece no limite superior. Pra deixar desse jeito, podemos usar a seguinte propriedade das integrais:

∫ a b f x d x = ∫ b a - f x d x

Assim, vamos ter que:

g x =   ∫ x 1 cos ⁡ t d t = ∫ 1 x ( - cos ⁡ t d t

Excelente! Já deixamos no mesmo formato do TFC 😊

Comparando com o TFC que apresentamos anteriormente, temos que:

f t = - cos ⁡ ( t )

Para o TFC ser aplicável precisa ser obedecida uma condição:

f ( t ) é contínua em [ a , b ] onde x ∈ [ a , b ]

Vamos verificar se essa condição é obedecida no nosso item.

Será que f ( t ) possui algum ponto de descontinuidade?

Bom, a função cosseno é contínua em todos os reais. O problema é que o seu argumento é a raiz quadrada de t , e a função raiz quadrada possui apenas domínio não-negativo.

Ou seja, para que f ( t ) seja contínua no intervalo [ a , b ] precisamos ter a ≥ 0 .

Mas, observando os limites de integração de g ( x ) , vemos que x ≥ 1 . Ou seja, sempre podemos definir um intervalo fechado que contenha x , de modo que:

x ∈ [ 1 , b ]

com b ≥ 1 .

Nesse intervalo f sempre será contínua 😊

Portanto, a condição para aplicação do TFC foi obedecida.

Passo 3

Pra finalizar, vamos aplicar o querido TFC.

Assim, temos que:

g ' x = f x

Logo:

g ' x =   - cos ⁡ ( x )

Prontinho! Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

g ' x =   - cos ⁡ ( x )

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