Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as derivadas das funções:

e )   h x = ∫ 0 t g   x t + t d t

Passo 1

Oiii gente, tudo bem por aí?

Nessa questão recebemos a função:

h x =   ∫ 0 t g   x t + t d t

E, precisamos calcular a sua derivada, h ' ( x ) .

Para fazer isso, devemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). A ideia principal que precisamos aplicar desse teorema é que:

Se:

h x =   ∫ a q x f t d t

Pelo TFC, sendo F ( t ) a primitiva de f ( t ) vale que:

h x = F q x - F a

Daí, ainda pelo TFC se queremos encontrar h ' ( x ) basta derivarmos a expressão acima, e teremos algo do tipo:

h ' x = F ' q x ⋅ q ' ( x )

= f q x ⋅ q ' ( x )

pois como falamos F é a primitiva de f ( x ) .

Ou seja, uma regra da cadeia na derivada.

Sacaram a ideia?

Então vamo nessa!

Passo 2

Recebemos a função:

h x =   ∫ 0 t g   x t + t d t

O ponto crucial de perceber é que o limite superior de integração é uma função de x que chamaremos:

q x = t g   x

Além disso, o nosso integrando é o próprio f ( t ) . Ou seja:

f t = t + t

Com essas informações, já podemos usar o TFC para encontrar h ' ( x ) .

(É bem legal perceber que não precisamos calcular a primitiva de f , no final das contas já temos todas as informações que precisamos 😊).

Assim, pelo que apresentamos no passo anterior:

h ' x = f q x ⋅ q ' x

Ou seja:

h ' x = t g   x + t g   x ⋅ t g   x '

Falta só calcularmos a derivada de t g   x . Pela tabela de derivadas, vamos ter que:

t g   x ' = sec 2 ⁡ x

Logo:

h ' x = t g   x + t g   x ⋅ sec 2 ⁡ x  

Excelente pessoal! Entenderam todas as etapas?

Vamo pra próxima 😊

Resposta

h ' x = t g   x + t g   x ⋅ sec 2 ⁡ x

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