Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as derivadas das funções:

f )   y = ∫ 1 - 3 x 1 u 3 1 + u 2 d u

Passo 1

Eaí pessoal, estão com dificuldades nessa questão? Vem com o Responde Aí que vai ficar tudo tranquilo 😊

Nessa questão recebemos a função:

y = h x =   ∫ 1 - 3 x 1 u 3 1 + u 2 d u

E, precisamos calcular a sua derivada, h ' ( x ) .

Para fazer isso, devemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC).

Os limites de integração parecem complicar um pouco a nossa vida, mas vamos com calma, se entendermos bem o TFC esses limites de integração vão ser um obstáculo bem pequeno 😊.

Pelo TFC, se temos a integral:

h x =   ∫ p x q x f u d u

Então, se F é a primitiva de f , podemos afirmar que:

h x = F q x - F p x

Mas, não estamos interessados em calcular h , queremos a sua derivada. Daí, podemos usar esse resultado do TFC e derivar a expressão acima. Precisaremos usar a regra da cadeia, e também o fato de que se F é a primitiva de f , então F ' = f .

Assim:

h ' x = F ' q x ⋅ q ' x - F ' ( p x ⋅ p ' ( x )

Usando F ' u = f ( u ) , vem:

h ' x = f q x ⋅ q ' x - f p x ⋅ p ' ( x )

Essa é a expressão mais geral que vamos trabalhar pra resolver o nosso problema. E, diga-se de passagem haha, ela nos ajuda bastante, pois a única informação que ainda não temos é quanto vale:

q ' ( x ) p ' ( x )

Tranquilo? Vamo nessa!

Passo 2

Como vimos, recebemos a função:

y = h x =   ∫ 1 - 3 x 1 u 3 1 + u 2 d u

E, precisamos calcular h ' ( x ) . Para isso, vamos usar:

h ' x = f q x ⋅ q ' x - f p x ⋅ p ' x

onde:

f u = u 3 1 + u 2 q x = 1 p x = 1 - 3 x

Perfeito! Vamos calcular as derivadas de q e de p , que são as únicas informações que faltam para aplicarmos a expressão que desenvolvemos pra h ' ( x ) .

q ' x = 0

Pois q x = 1 é uma função constante.

E:

p ' x = 1 - 3 x '

Que, pela regra de derivação de polinômios, vale:

p ' x =   - 3 ⋅ 1 ⋅ x 1 - 1

=   - 3

Excelente! Substituindo na nossa expressão, vem:

h ' x = f q x ⋅ q ' x - f p x ⋅ p ' x

∴ h ' x = 1 3 1 + 1 2 ⋅ 0 - 1 - 3 x 3 1 + 1 - 3 x 2 ⋅ - 3

Portanto:

h ' x = 3 ⋅ 1 - 3 x 3 1 + 1 - 3 x 2  

E é isso aí galera! Matamos mais um item.

Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

h ' x = 3 ⋅ 1 - 3 x 3 1 + 1 - 3 x 2  

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