Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as derivadas das funções:

h )   g x = ∫ x x 2 e t 2 d t

Passo 1

Olá galerinha do bem, tudo na paz com vocês?

Nessa questão recebemos a função:

g x = ∫ x x 2 e t 2 d t

E, precisamos calcular a sua derivada, g ' ( x ) .

Para fazer isso, devemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC).

Pelo TFC, se temos a integral:

g x =   ∫ p x q x f t d u

E se F é a primitiva de f , então podemos afirmar que:

g x = F q x - F p x

Mas, não estamos interessados em calcular g , queremos a sua derivada. Daí, podemos usar esse resultado do TFC e derivar a expressão acima.

Precisaremos usar a regra da cadeia, e também o fato de que se F é a primitiva de f , então F ' = f .

Assim:

g ' x = F ' q x ⋅ q ' x - F ' ( p x ⋅ p ' ( x )

Usando F ' t = f ( t ) , vem:

g ' x = f q x ⋅ q ' x - f p x ⋅ p ' ( x )

Essa é a expressão mais geral que vamos trabalhar pra resolver o nosso problema. E, diga-se de passagem, haha, ela nos ajuda bastante, pois a única informação que ainda não temos é quanto vale:

q ' ( x ) p ' ( x )

Tranquilo? Vamo nessa!

Passo 2

Como vimos, recebemos a função:

g x = ∫ x x 2 e t 2 d t

E, precisamos calcular g ' ( x ) . Para isso, vamos usar:

g ' x = f q x ⋅ q ' x - f p x ⋅ p ' x

onde:

f t = e t 2 q x = x 2 p x = x

Perfeito! Vamos calcular as derivadas de q e de p , que são as únicas informações que faltam para aplicarmos a expressão que desenvolvemos pra h ' ( x ) .

Começando por q , temos:

q ' x = 2 ⋅ x 2 - 1

= 2 x

E, para p , vem:

p ' x = 1 ⋅ x 1 - 1

= 1

Assim, voltando para a nossa expressão geral, temos:

g ' x = f q x ⋅ q ' x - f p x ⋅ p ' x

= e x 2 2 ⋅ 2 x - e x 2 ⋅ 1

⇒ g ' ( x ) = 2 x ⋅ e x 4 - e x 2

Perfeito!

Encontramos g ' ( x ) e matamos essa questão!!

E aí galera, entenderam a solução? Curtiram? Responde Aí!

Resposta

g ' ( x ) = 2 x ⋅ e x 4 - e x 2

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