Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

UFRJ, Álgebra Linear, P2 - 2018.1, Questão 12

Seja A uma matriz quadrada e S o sistema A x = v .

(I) Se existe um vetor v tal que S não tem solução, então S nunca tem solução única.

(II) Se existe um vetor v tal que S possui solução única, então S possui solução para todo vetor v .

(a) Ambas as afirmações são falsas.

(b) Ambas as afirmações são verdadeiras.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

Passo 1

Um dado importante desse enunciado é que a matriz A é quadrada, ou seja, o número de linhas é igual ao número de colunas.

Isso significa que o sistema S dado tem o mesmo número de equações e incógnitas.

Com base nisso, vamos ver as afirmações.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(I) Se existe um vetor v tal que S não tem solução, então S nunca tem solução única.

Pra ficar mais fácil de visualizar, vamos supor que a matriz   A é uma matriz com duas linhas e duas colunas da forma:

A = a b c d

Vamos supor também que o vetor v é:

v = e f

Desse jeito o sistema S fica:

A x = v   a b c d x y = e f

a x + b y = e c x + d y = f

Se S não tem solução para v – isto é, se o sistema acima não tem solução para os valores de e e f – isso significa que podemos ter, por exemplo:

c = 2 a           d = 2 b

Porém:

e 2 f

Mas isso significa então que S nunca vai ter solução???

Não!

Se tivermos um vetor v = ( e , f ) tal que:

e = 2 f

A segunda linha do sistema vai ser igual ao dobro da primeira. Numa situação dessas, o sistema vai apresentar infinitas soluções.

Então a afirmação I é verdadeira: se existe um vetor v tal que S não tem solução, então S nunca tem solução única (já que pode ter várias soluções).

Passo 3

(II) Se existe um vetor v tal que S possui solução única, então S possui solução para todo vetor v .

Vamos continuar com a mesma matriz A   2 x 2 de antes pra ficar fácil de visualizar!

Vimos que para um vetor v = ( e , f ) , o sistema S vai ficar:

a x + b y = e c x + d y = f

Dessa vez, S possui solução única para esse vetor.

Isso significa que não existe uma relação de inconsistência entre as equações (caso em que não haveria solução) ou mesmo redundância (caso em que haveria infinitas soluções).

Então, para qualquer vetor v = ( e , f ) , o sistema terá solução, já que não estamos tratando de nenhum caso particular de valores de e e f.

A afirmação (II) também é verdadeira.

Resposta

(b) Ambas as afirmações são verdadeiras.

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas