Em cada um dos itens abaixo, determine uma função cuja derivada coincida com a função dada.

f )   f ( x )   = ( e - x +   3 1 - x ² )

Passo 1

Fala aí, beleza?? Vamos para mais uma questãozinha!

Bom essa questão quer que encontremos uma função cuja a derivada dessa função seja igual a função dada f ( x )   = ( e - x +   3 1 - x ² ) . Isso significa que a questão deseja que encontremos a integral indefinida da função em questão, uma vez que quando calculamos uma integral indefinida encontramos uma função primitiva e não um número.

Como poderemos resolver esse problema???

Passo 2

Como desejamos calcular a integral indefinida da função dada, matematicamente isso significa que desejamos calcular o valor da expressão:

∫ ( e - x +   3 1 - x ² ) d x    

Aplicando a regra da integral da soma, temos :

∫ ( e - x +   3 1 - x ² ) d x     =   ∫ e - x   d x +   ∫ 3 1 - x ² d x  

Agora basta que resolvamos cada uma das integrais.

∫ e - x   d x

Utilizaremos a regra da substituição para facilitar nossas continhas!!!

∫ e - x d x   =   ∫ e u ( - 1 ) d u   = - 1 ∫ e u d u   =   - e u  

Substituindo u por - x , retornaremos a nossa variável inicial. Dessa forma,

∫ e - x d x     =   - e u =   - e - x  

Passo 3

Agora precisamos resolver a segunda integral:   ∫ 3 1 - x ² d x

∫ 3 1 - x ² d x   = 3 ∫ 1 1 - x ² d x    

O problema ficou mais simples nesse instante, uma vez que a integral de ∫ 1 1 - x ² d x   é a r c s e n ( x ) . Portanto,

∫ 3 1 - x ² d x   = 3 ∫ 1 1 - x ² d x     =   3 ⋅ a r c s e n ( x ) =   3 a r c s e n ( x )

Belezinhaaaa meu povo? Calma que ainda não acabou!

Assim,

∫ ( e - x +   3 1 - x ² ) d x     =   ∫ e - x   d x +   ∫ 3 1 - x ² d x   = - e - x   +   3 a r c s e n ( x )    

Só isso basta?

A resposta é NÃO! Não podemos esquecer de adicionar a constante K , onde . Como a derivada de uma constante é zero, destaca-se que na derivada da constante em nada altera a derivada da função uma vez que a primeira é nula.

Assim, a resposta final será

F ( x ) =   - e - x   +   3 a r c s e n ( x )   +   K   , onde .

E aí, consegui te ajudar?? Então Responde Aí!

Bons Estudos!!!!

Resposta

F ( x ) =   - e - x   +   3 a r c s e n ( x )   +   K   , onde

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