Exercícios Resolvidos de Anti-Derivação

Calcule a integral

∫ x 9 - x 3 x 4 d x

Passo 1

Reescrever a integral como duas integrais

Essa integral fica bem mais tranquila de resolver se dividirmos ela em dois e simplificarmos. Duvida? Dá uma olhada então:

∫ x 9 - x 3 x 4 d x = ∫ x 9 x 4 d x - ∫ x 3 x 4 d x

∫ x 9 - x 3 x 4 d x = ∫ x 5 d x - ∫ 1 x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Resolver as integrais separadamente

Agora ficou mel na chupeta, quer ver? Vê se você lembra dessa regrinha de integrais:

∫ a t b d x = a t b + 1 b + 1 + C   ,     b ∈ Z ,     b ≠ - 1

Show de bola, é só aplicar essa regra agora:

∫ x 5 d x = x 5 + 1 5 + 1 = x 6 6

Mas calma lá, essa regra não vale pra segunda integral! Isso porque b = - 1 na segunda integral. Agora, o que nós temos que fazer é lembrar que toda vez que deriávamos

ln ⁡ x ' = 1 x

Sendo assim, a operação inversa, a integral, de 1 x vai ser:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x

Juntando os dois resultados:

∫ x 9 - x 3 x 4 d x = x 6 6 - ln ⁡ x + C

Resposta

∫ x 9 - x 3 x 4 d x = x 6 6 - ln ⁡ x + C

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